Los diagramas de árbol son esquemas o mapas que muestran todas las posibles rutas o resultados de un evento. Un diagrama de árbol muestra ramas para cada punto en el que se realiza una elección. Cada rama de un árbol enumera un posible resultado.
Los diagramas de árbol sirven para visualizar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, punto por punto. También, para calcular la probabilidad de cada uno de los resultados. Además, para entender cómo se combinan las probabilidades de cada paso y obtener la probabilidad total de un evento.
Los diagramas de árbol se aplican en el cálculo de probabilidades de eventos compuestos, es decir, eventos que son el resultado de varios eventos más simples. Fischbein fue quien recomendó el uso de los diagramas en árbol para resolver problemas de combinatoria y probabilidad.
Los diagramas de árbol son herramientas fundamentales en el campo de la estadística y, especialmente, en la teoría de la probabilidad. |
¿Cómo se hacen los diagramas de árbol?
Primero, se dibuja un punto o caja, que representa el evento inicial. Para continuar, de este punto salen «ramas» que representan los posibles resultados de ese evento. Si hay más eventos, cada rama se convierte en un nuevo punto y de allí salen nuevas ramas. Este proceso se repite hasta que se hayan considerado todos los posibles resultados de todos los eventos.
Como ejemplo, suponga que le piden lanzar una moneda dos veces. El primer lanzamiento tiene dos posibles resultados: cara (C) o sello (S). No obstante, para cada uno de estos resultados hay dos posibilidades en el segundo lanzamiento. La figura 1 muestra el diagrama de árbol resultante.

Para otro ejemplo, suponga que le piden lanzar un dado y luego, una moneda. La notación inicial del diagrama puede estar representada por las posibles posiciones del dado y de la moneda. A continuación, se pueden representar cada uno de las posibles combinaciones. La figura 2 muestra el diagrama.

Principio de conteo
El principio de conteo en estadística, también se conoce como el principio fundamental de conteo o principio de multiplicación. Es una herramienta que permite determinar el número de resultados posibles cuando se tienen dos o más eventos que ocurren de forma simultánea. El principio de conteo se desarrolló cuando Fermat y Pascal intentaros resolver problemas relacionados con los juegos de azar.
El principio de conteo se define con el siguiente enunciado. «Si un evento puede ocurrir de m maneras y otro evento puede ocurrir de n maneras, entonces, ambos eventos pueden ocurrir en m×n maneras».
Ejemplos de diagramas de árbol y principio de conteo
Ejemplo 1
Suponga que se lanza una moneda dos veces.
Haga un diagrama de árbol para mostrar todas las opciones posibles. Además, use el principio de conteo para calcular las opciones y la probabilidad de cada decisión.
Solución:
El diagrama de árbol, para este ejercicio, se muestra en la figura 1. Según esta, hay 4 posibles resultados igualmente probables y cada uno equivale a = 25%
Solución usando el principio de conteo
Los eventos son: el primer lanzamiento (evento m) y el segundo lanzamiento (evento n). Según la definición, los eventos pueden ocurrir de m×n formas. Cada evento tiene 2 posibilidades: cara o sello. En consecuencia, m = 2 y n = 2, Por tanto, el número total de opciones es 2 × 2 = 4.
Ahora la probabilidad.
Como solo puede salir cara o sello al lanzar la moneda, la probabilidad es de para cada lanzamiento. La probabilidad total es, entonces
Ejercicio 2
Suponga que se lanza un dado y una moneda.
Haga un diagrama de árbol para mostrar todas las opciones posibles. Además, use el principio de conteo para calcular las opciones y la probabilidad de cada decisión.
Solución:
El diagrama de árbol, para este ejercicio, se muestra en la figura 2. Según esta, hay 12 posibles resultados igualmente probables y cada uno equivale a
Solución usando el principio de conteo
Los eventos son: lanzamiento del dado (evento m) y el lanzamiento de la moneda (evento n). Según la definición, los eventos pueden ocurrir de m×n formas. El lanzamiento del dado tiene 6 posibilidades. El lanzamiento de la moneda tiene 2 posibilidades (cara o sello). En consecuencia, m = 6 y n = 2. Entonces, el número total de opciones es 6 × 2 = 12.
Ahora la probabilidad.
La probabilidad, para cada lado del dado es de
Ejemplo 3
Santiago no pudo conseguir un vuelo directo de Cancún a Tijuana. Tuvo que elegir entre 3 ciudades de conexión: Toluca, Querétaro y Morelia y entre 2 aerolíneas: Viva y Volaris.
Haga un diagrama de árbol para mostrar todos los resultados posibles. Además, use el principio de conteo para calcular las probabilidad de cada resultado.
Solución

Solución usando el principio de conteo
Los eventos simultáneos son la elección de la ciudad (evento m) y la elección de la aerolínea (evento n). Según la definición, los eventos pueden ocurrir de m×n formas. Como son 3 ciudades, entonces, m = 3 y como son 2 aerolíneas, entonces n = 2. Por lo tanto, el número de opciones posibles es 3 × 2 = 6.
Ahora las probabilidades:
La probabilidad de elegir una de las 3 ciudades, es de
Taller de lectura
- De los diagramas de árbol escriba: qué son, para que sirven y dónde se aplican.
- Describa cómo se hace un diagrama de árbol y, además, copie las figuras 1 y 2.
- ¿Qué es el principio de conteo?
- Copie los 3 ejemplos de diagramas de árbol, con sus respectivas explicaciones.
- desarrolle los siguientes ejercicios
- Lucía puede elegir entre 4 vuelos de Madrid a Barcelona y uno de 3 vuelos de vuelta. Haga un diagrama de árbol. ¿Cuántos pares de vuelos diferentes puede tomar?
- Una tarjeta de cumpleaños diseñada por computadora puede tener 2 mensajes diferentes, 4 colores diferentes y 3 bordes diferentes. Haga un diagrama de árbol. ¿Cuántas opciones diferentes de tarjetas tienes?
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