Las combinaciones determinan el número de formas en que se puede seleccionar un subconjunto de elementos de un conjunto más grande, sin importar el orden.
Por ejemplo, suponga que un entrenador tiene 4 jugadoras de tenis y necesita 2 para enfrentar un torneo de dobles. ¿De cuántas formas posibles se pueden organizar las jugadoras para conformar el equipo?
Aquí, el conjunto más grande está formado por las 4 jugadoras y los subconjuntos, son las parejas que es posible formar. El número de parejas que es posible formar, es el número de resultados o el número de combinaciones posibles.
| La combinatoria, es la rama de las matemáticas que estudia cómo contar, organizar y seleccionar objetos. Incluye, entre otros, el principio de conteo, las permutaciones y las combinaciones. |
Importancia de las combinaciones
Su aplicación se extiende a ciencias de datos, economía y biología entre otras.
1 – Las combinaciones, en probabilidad, se usan para calcular la cantidad de resultados favorables en eventos donde el orden no importa. Por ejemplo, en la lotería, las combinaciones determinan cuántos grupos de números pueden formarse. Esto ayuda a calcular las probabilidades de ganar.
2 – Las combinaciones, en estadística y muestreo, son clave para seleccionar subconjuntos de una población sin orden ni repetición. En encuestas o experimentos, permiten determinar cuántas muestras distintas pueden extraerse, asegurando representatividad. Por ejemplo, si se eligen 150 personas de 1000, ¿Cuántas muestras pueden formarse?
3 – El teorema del binomio y combinaciones, están estrechamente relacionados. Por ejemplo, en
Los números que multiplican en el binomio expandido (como el 1, 3, 3, 1) son ‘contadores’ de todas las combinaciones posibles al mezclar las letras a y b. No obstante, el teorema del binomio nos exime de hacer todas las operaciones una por una. Estos factores están ya organizados en el triángulo de Pascal.
Clases
Hay 2 principales clases de combinaciones: sin repetición y con repetición (tabla 1).
Las fórmulas, en esta tabla 1, indican cómo calcular combinaciones.
Combinaciones sin repetición
Se caracterizan porque los elementos no se repiten y el orden no importa. Se definen como el número de combinaciones de n elementos tomados de k en k, donde n es mayor o igual a k.
Se denotan como C(n, k) y se calculan con la fórmula
Combinaciones ejemplos 1 y 2
Ejemplo 1
Hay 20 pinturas en una colección. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 3 pinturas? ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 17 pinturas?
Solución
En el primer caso, n es igual a 20 y k es 3, por tanto,
En el segundo caso, n es igual a 20 y k es 17, así que,
Observe que seleccionar 17 cuadros, es lo mismo que seleccionar 3 cuadros para descartar. Es el mismo número de resultados. Entonces, las fórmulas de combinaciones sin repetición se pueden interpretar como sigue:
Ejemplo 2
Se debe seleccionar 3 gimnastas, de un grupo de 9 disponibles, para representar al país en una olimpiada. ¿De cuantas formas posibles se puede organizar el equipo?
Solución
n es 9 y k es 3, en consecuencia,
En conclusión, el equipo se puede conformar de 84 formas diferentes.
Combinaciones con repetición
Este tipo de combinaciones permite seleccionar elementos repetidos de un conjunto dado. En este caso, n puede ser mayor, igual o menor que k y esto puede dificultar su identificación. Sin embargo, para identificar n (categorías) y k (objetos) en problemas de este tipo, se puede aplicar la siguiente regla:
Para identificar k (objetos), podemos preguntarnos qué es lo que se reparte, elige o distribuye. De manera similar, para identificar n (categorías), La pregunta a responder es: Entre qué o entre quiénes se reparte. La tabla 2 muestra algunos ejemplos.
La fórmula de combinaciones con repetición puede escribirse como
Ejercicios resueltos de combinaciones 3 y 4
Ejemplo 3
Un jardinero quiere plantar 7 flores iguales en 3 macetas distintas. Cada maceta puede quedarse vacía o recibir todas las flores. ¿De cuántas formas diferentes puede distribuir las flores?
Solución
Para iniciar, se identifican n y k. ¿Qué se va a distribuir? Flores. Por lo tanto, k es 7. ¿Entre qué se distribuyen las flores? Entre 3 macetas. En otras palabras, n es igual a 3. En consecuencia, se tiene que
Las flores pueden distribuirse de 36 maneras.
Ejemplo 4
En un banquete, los invitados pueden pedir 4 porciones de postre, pero solo hay 2 sabores disponibles (chocolate y vainilla). ¿Cuántas opciones distintas tiene un invitado?
Solución
Inicialmente se identifican n y k. ¿Qué se va a distribuir? Pastel (4 porciones). Por tanto, k es 4. ¿Entre qué, se va a elegir? Entre 2 sabores. Entonces, n es 2. Para continuar, se aplica la fórmula.
Cada invitado tiene 5 opciones distintas.
Taller de lectura
- ¿Qué determinan las combinaciones matemáticas?
- Escriba la definición de combinatoria y, además, que temas incluye.
- Haga un resumen a cerca de la importancia de las combinaciones.
- Escriba por qué se caracterizan las combinaciones sin repetición. Además, copie su fórmula y los ejemplos 1 y 2.
- De las combinaciones con repetición escriba: su definición, cómo se procede para identificar n y k, su fórmula y, además, copie los ejemplos 3 y 4
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