Sistemas de ecuaciones lineales 2×2. Los 5 métodos

Por Javier Cárdenas

Los sistemas de ecuaciones lineales 2×2, son pares de ecuaciones lineales, con dos incógnitas relacionadas, que deben ser resueltas en conjunto. Generalmente, estas ecuaciones se escriben en la forma:

  • ax + by = e
  • cx + dy = f

Donde a, b, c, d, e, f representan números reales y pueden ser coeficientes o constantes.

La importancia de los sistemas de ecuaciones 2×2, radica en su utilidad en la resolución de problemas prácticos en áreas, como la física, la ingeniería, la química, la economía y la matemática en general. En resumen, estos sistemas permiten modelar y resolver situaciones en las que hay dos incógnitas relacionadas por dos ecuaciones.

Solución de sistemas de ecuaciones lineales 2×2

La historia de la solución de sistemas de ecuaciones inicia con Euclides, en el siglo III a.C., quien fue uno de los primeros en abordar el problema. Sin embargo, en el desarrollo de las formas modernas de resolución participaron matemáticos como René Descartes y Gottfried Leibniz. Existen 5 métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2×2: igualación, reducción, sustitución, determinantes o regla de Cramer y método gráfico. Adicionalmente, existe la calculadora de sistemas de ecuaciones 2×2, que se programa utilizando alguno de los métodos anteriores. De todas maneras, el objetivo, al solucionar un sistema de ecuaciones, es hallar el valor real de cada una de las dos incógnitas.

Los 3 métodos más usados

1 – Método de igualación

Para solucionar un sistema de ecuaciones 2×2 usando este método, primero se aísla o se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. Se puede seleccionar cualquiera de ellas. Después de eso, se igualan las expresiones resultantes y se despeja la otra incógnita, hallando su valor. Para terminar, se usa una de las expresiones obtenidas en el primer paso, para reemplazar el valor anterior y encontrar el valor faltante.

Ejemplo 1. Resolver, por igualación, el siguiente sistema de ecuaciones:

x + 3y = 6 (1)
5x ─ 2y = 13 (2)

Solución:

Primero, se despeja x en las ecuaciones (1) y (2)

de la ecuación (1) se tiene

x = 6 ─3y (3)

de la ecuación (2) se tiene

x = 13+2y5(4)

Segundo, se igualan las expresiones (3) y (4) y se despeja y

6 ─ 3y = 13+2y5

5(6 ─ 3y) = 13 + 2y

30 ─ 15y = 13 + 2y

30 ─ 13 = 2y + 15y

17 = 17y

\[y={17\over17}\]

y = 1

Finalmente, se halla el valor de x, reemplazando el valor de y en la expresión (3)

x = 6 ─ 3y

(reemplazando) x = 6 ─ 3(1) 

x = 6 ─ 3

x = 3

En conclusión, la respuesta a este sistema de ecuaciones es: x = 3 y = 1

2 – Método de sustitución

En este método, se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones y luego se sustituye esta expresión en la otra ecuación. Posteriormente, se resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de la otra incógnita. Finalmente, se sustituye este valor en una de las ecuaciones originales para encontrar la segunda incógnita.

Ejemplo 2. Resolver, por sustitución, el siguiente sistema de ecuaciones:

x + 6y = 27 (1)
7x ─ 3y = 9 (2)
Solución:

Primero, se despeja x en la primera ecuación

x + 6y = 27 (1)

x = 27 ─ 6y (3)

Segundo, se reemplaza la expresión (3) en la ecuación (2) y se despeja y

7(27 ─ 6y) ─ 3y = 9

189 ─ 42y ─ 3y = 9

189 ─ 9 = 42y + 3y

180 = 45y

\[y={180\over45}\]

Para terminar, se halla el valor de x, reemplazando y en la ecuación (3)

x = 27 ─ 6y

(reemplazando) x = 27 ─ 6(4)

x = 27 ─ 24

x = 3

En resumen, la solución a este sistema de ecuaciones es: x = 3 y = 4

3 – Método de reducción o eliminación

A este método se le llama también, método de suma y resta. En este método, se multiplica una o ambas ecuaciones por un número apropiado de manera que los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones se vuelvan iguales en magnitud, pero con signos opuestos. Luego, se suman o se restan las ecuaciones para eliminar una de las incógnitas. A continuación, se resuelve la otra incógnita y una vez hallado su valor, se sustituye en una de las ecuaciones originales para encontrar la segunda incógnita.

Ejemplo 3. Resuelva, por eliminación, el siguiente sistema de ecuaciones:

6x ─ 5y = ─9 (1)
4x + 3y = 13 (2)
Solución:

En este caso, se multiplica la primera ecuación por 2 y la segunda por ─3

Por lo tanto, de la ecuación (1) se obtiene:

2(6x ─ 5y = ─9)

12x ─ 10y = ─18 (3)

Además, de la ecuación (2) se tiene:

─3(4x + 3y = 13)

─12x ─ 9y = ─39 (4)

A continuación, se suman las ecuaciones (3) y (4)

12x ─ 10y = –18 (3)
─12x ─ 9y = –39 (4)
─19y = –57 (5)
Se despeja el valor de y, de la expresión (5)

\[y={-57\over-19}\]

y = 3

Para terminar, se calcula x, reemplazando y, en la ecuación (1)

6x ─ 5y = ─9

(reemplazando) 6x ─ 5(3) = ─9

6x ─ 15 = ─9

6x = ─9 + 15

(despejando) 6x = 6

\[x={6\over6}\]

x = 1

En conclusión, la solución a este sistema de ecuaciones es: x = 1 y = 3

4 – Método por determinantes (Regla de Cramer)

Para solucionar un sistema de ecuaciones por la regla de Cramer, se desarrollan 3 determinantes llamados D, Dx y Dy. Después, se aplica la fórmula x = Dx/D para hallar el valor de x. Para terminar, se usa la fórmula y = Dy/D para encontrar el valor de y. Cabe anotar que, si el primer determinante tiene valor cero, el sistema no tiene solución o, por el contrario, tiene más de una.

Un determinante es el valor numérico escalar asignado a una matriz. A su vez, una matriz es un arreglo de números en filas y columnas, que cumple ciertas características. La más simple de las matrices tienen 2 filas y 2 columnas. Los determinantes que se usan para solucionar sistemas de ecuaciones lineales 2×2, son las siguientes:

sistemas de ecuaciones lineales 2x2 por determinantes

Ejemplo 4. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer.

7x ─ 4y = 5 (1)
9x + 8y = 13 (2)
Solución:

Primero, se arman los determinantes de acuerdo con la información suministrada en la figura anterior. Inicialmente, se asignan los valores a las variables a, b, c, d, e y f. Después de eso, se procede a reemplazarlas y se calcula el valor de cada determinante.

a = 7b = -4e = 5
c = 9d = 8f = 13

Primero, la determinante principal

\begin{equation} D= \begin{vmatrix} 7 & -4\\ 9 & 8\\ \end{vmatrix} =7\times8-(-4\times9)\\D=92 \end{equation}

Segundo, la determinante Dx

\begin{equation} D_{x}= \begin{vmatrix} 5 & -4\\ 13 & 8\\ \end{vmatrix} =5\times8-(-4\times13)\\D_{x}=92 \end{equation}

Tercero, la determinante Dy

\begin{equation} D_{y}= \begin{vmatrix} 7 & 5\\ 9 & 13\\ \end{vmatrix} =(7\times13)-(5\times9)\\D_{y}=46 \end{equation}

Finalmente, se hallan los valores de x y de y, con las fórmulas dadas.

\[x={D_{x}\over D}={92\over92}=1\]
\[y={D_{y}\over D}={46\over92}={1\over2}\]

En consecuencia, la solución a este sistema de ecuaciones es: x = 1 y = ½

5 – Método gráfico

Para solucionar un sistema de ecuaciones 2×2, por el método gráfico, primero, se grafican las dos ecuaciones en un mismo plano cartesiano. Entonces, la solución del sistema es el punto en el que se interceptan las rectas. Sin embargo, si las rectas son paralelas, el sistema no tiene solución.

Ejemplo 5. Resuelva, por el método gráfico, el siguiente sistema de ecuaciones:

y = –2x +8 (1)
y = 3x – 7 (2)

Método gráfico en un sistema de ecuaciones

En resumen, la solución a este sistema de ecuaciones es x = 3 y = 2.

Taller de lectura

  1. ¿Qué son sistemas de ecuaciones lineales 2×2 y cómo se escriben?
  2. ¿Cuál es la importancia de los sistemas de ecuaciones?
  3. ¿Quiénes desarrollaron los métodos para solucionar sistemas de ecuaciones 2×2?
  4. Nombre los 5 métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.
  5. ¿Cuál es el objetivo al solucionar un sistema de ecuaciones?
  6. Explique cómo se procede para solucionar un sistema de ecuaciones por el método de igualación y, además copie el ejemplo 1.
  7. Indique cómo se procede para solucionar un sistema de ecuaciones por el método de sustitución y, además copie el ejemplo 2.
  8. Escriba el procedimiento para solucionar un sistema de ecuaciones por el método de suma y resta y, además copie el ejemplo 3.
  9. ¿Cómo se procede para solucionar un sistema de ecuaciones por la regla de Cramer?
  10. ¿Qué es un determinante?
  11. ¿Qué es una matriz y cuál es la más simple de ellas?
  12. Copie el ejemplo 4.
  13. Escriba cómo se procede para solucionar un sistema de ecuaciones 2×2, por el método gráfico y, además, copie el ejemplo 5.

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