Los números reales. ¿Cuáles son y por qué son importantes?

Los números reales son los números que usamos en la vida diaria para contar objetos o para medir cantidades como distancia, temperatura, volumen, etc. Además, los que usamos o encontramos al trabajar con figuras geométricas básicas. Los números reales son aquellos números que podemos ubicar en la recta numérica.

De acuerdo con el esquema de la figura 1, los números reales están formados por números racionales e irracionales. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos enteros. A su vez, dentro de los números racionales están los números enteros y los fraccionarios. Los números naturales hacen parte de los números enteros (son los enteros positivos). Aquí están, adicionalmente, los números con decimales finitos y con decimales periódicos. Por ejemplo, 3,5625 y 0,3333…

En contraste, los números irracionales son los que no Pueden expresarse como el cociente de dos enteros. Ejemplos de estos son, los números con decimales infinitos no periódicos (como el número ℼ = 3,141592…) y números como $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$… Teodoro de Cirene fue quien desarrolló la teoría de los números irracionales.

Números positivos y negativos

Los números negativos se usaron de manera práctica, por primera vez, hacia el siglo VI. Sin embargo, los matemáticos de la edad media y el renacimiento se rehusaron a utilizarlos. Los números negativos se comprenden, claramente, cuando los usamos para medir magnitudes relativas. Es decir, magnitudes cuyas cantidades pueden tomarse en sentidos opuestos. Por ejemplo, si expresamos una temperatura en grados, habrá algunas temperaturas con grados sobre cero y otras bajo cero. Convencionalmente, se fijan los números positivos en una dirección y los negativos en la dirección opuesta.

El cero representa un elemento de separación entre números negativos y positivos, de modo que es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier positivo. Por otro lado, los números negativos son útiles por hacer posible la resta en todos los casos. Convierte a la resta en una operación inversa a la suma y permite restarle a un minuendo menor un sustraendo mayor.

Ahora, coloquemos el cero en el centro de una recta. Si convenimos que los puntos a su derecha sean positivos y los puntos a su izquierda sean negativos, tenemos la recta numérica (Figura 2). Los números reales se representan, gráficamente, en la recta numérica o recta real.

Propiedades de los números reales

Entre las características de los números reales están, por ejemplo:

Tricotomía matemática o relación de orden.
Si tenemos dos números reales a y b, solo puede haber una y, solo una, relación entre ambos. Que a sea igual a b (a=b), que a sea menor que b (a<b) o que a sea mayor que b (a>b). Por ejemplo, $\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$.

Transitividad de la igualdad.
Si se tienen tres números reales a, b y c, donde a=b y b=c, entonces, a=c. Por ejemplo, si $\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$ y $\mathrm{0,5}=\frac{5}{10}$, entonces, $\frac{1}{2}=\frac{5}{10}$

Continuidad.
Cada punto de la recta numérica corresponde a un número real. Es decir, que la recta numérica no tiene huecos, salto ni interrupciones. Por tanto, entre dos números reales, por cerca que estén, siempre habrá otro número real.

Los números reales son infinitos.
Esto se representa con el símbolo de infinito (∞) y, en consecuencia, se puede decir que los reales van desde –∞ hasta +∞.

Taller de lectura

Para responder las preguntas 1 a 5, marque con x la respuesta correcta.

1. Los números reales son:
   1. Los que se usan solo en matemática avanzada.
   2. Los que utilizamos más a menudo.
   3. Aquellos que no tienen relación con la recta numérica.
   4. Los que son enteros.
2. Los números reales están formados por dos subconjuntos que son:
   1. Números racionales e irracionales.
   2. Pares e impares.
   3. Raíces y fraccionarios
   4. Enteros y naturales
3. De los siguientes números, los que no pertenecen a los reales son:
   1. Enteros.
   2. Naturales.
   3. Imaginarios.
   4. Decimales.
4. El número ℼ es un número:
   1. Irracional
   2. Entero
   3. Fraccionario
   4. Natural
5. De los siguientes números ¿Cuál consideras que no es racional?
   1. 8,5
   2. —8
   3. $\frac{3}{8}$
   4. $\sqrt{7}$
6. Dibuja el mapa conceptual de la clasificación de los números.
7. Dibuja la figura 2.
8. Complete las siguientes expresiones y, a continuación, escriba a qué propiedad de los números reales pertenece:
   Si $a=\frac{1}{4}$, b = 0,25 y $c=\frac{5}{20}$, escriba a=b, b=c y a=c
9. ¿Con qué número representas una temperatura de 4 grados centígrados bajo cero?
10. Escriba, en medio de cada pareja de números, el signo =, > o < que corresponda.
    3____—2, 0____16 y $\frac{1}{5}$____0,2.