Las razones trigonométricas y el análisis de triángulos

Por Javier Cárdenas

Las razones trigonométricas son relaciones matemáticas entre los lados de un triángulo rectángulo. El coseno, por ejemplo, relaciona el cateto adyacente a un ángulo dado, con la hipotenusa. Las razones trigonométricas son esenciales en la resolución de triángulos rectángulos, ya sea que se conozcan 2 de sus lados o que se conozcan un lado y un ángulo. En este artículo se aplican al segundo caso.

¿Cómo aplicar razones trigonométricas a triángulos rectángulos, conociendo un lado y un ángulo?

Lo primero que se hace es hallar el ángulo agudo que falta. Como se sabe, los dos ángulos agudos (A y B) suman 90°. En consecuencia, este se halla con la fórmula:

B = 90° – A o bien, A = 90° – B

A continuación, se calculan los 2 lados faltantes, usando razones o funciones trigonométricas. La función adecuada debe relacionar el lado que se conoce y el lado a calcular. Por ejemplo, para  calcular un cateto sabiendo el valor del otro, se usa la función tangente porque ella relaciona los dos catetos. El tercer lado, sin embargo, también puede hallarse aplicando una de las fórmulas derivadas del teorema de Pitágoras

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Resolver el siguiente triángulo:

Razones trigonométricas para resolver triángulos.

Primero, se halla el ángulo A. Como el ángulo B = 40°, entonces el ángulo A se calcula con la fórmula:

A = 90° − 40°. Por tanto, A = 50°.

Una vez encontrado el ángulo, se procede a calcular los lados a y c, que son los lados faltantes.

Como se conoce el cateto opuesto al ángulo B, se halla el cateto adyacente (a) con la función tangente (tanB).

\[tan40°={5.6\over a}\]

De donde se tiene que,

\[a={5.6\over tan40°}=6.67\]

Después de eso, se calcula la hipotenusa (c) con la función seno (senB).

\[sen40°={5.6\over c}\]

Por tanto, el valor de c es:

\[c={5.6\over sen40°}=8.71\]

Ejercicio 2

Se requiere tensar un cable para dar equilibrio a una torre de 10m de altura. Si el ángulo de elevación del cable debe ser de 40° ¿Cuál es la longitud del cable requerido?

Solución:

Aplicando razones trigonométricas. Ejercicio 2
Figura 2.

De acuerdo con el esquema de ejercicio (figura 2), el cateto opuesto al ángulo, es la altura de la torre. Del mismo modo, la longitud del cable, a calcular, es la hipotenusa c. La función que relaciona estas dos variables es el seno. En consecuencia,

\[sen40°={10m\over c}\]

Entonces, la longitud del cable c es:

\[c={10\over sen40°}=15.55m\]

En resumen, la longitud del cable requerido es de 15,55 metros.

Ejercicio 3

Para medir la altura de un edificio, se coloca un observador a 100m de la base y desde allí se calcula un ángulo de elevación de 35°, tal como lo muestra la figura 3. ¿Cuál es la altura del edificio?

Solución:

ejercicio 3 de resolución de triángulos
Figura 3.

Si se observa el esquema como un triángulo rectángulo, los 100m del edificio al observador, representan el cateto adyacente. Además, la altura del edificio representa el cateto opuesto. Por tanto, para calcular la altura de usa la función tangente que es la que relaciona las dos variables. Entonces,

\[tan35°={h\over100m}\]

Y el valor de h es:

\[h=100m\times tan35°=70.02m\]

En conclusión, la altura del edificio es de 70.02 metros

Taller de lectura

  1. Si se conoce un lado y un ángulo, ¿Qué elementos del triángulo deben hallarse?
  2. ¿Cómo se halla el ángulo faltante? Escriba la fórmula
  3. ¿Cómo se calculan los 2 lados faltantes?
  4. ¿De qué otra forma puede hallarse el tercer lado del triángulo?
  5. Copie los 3 ejercicios con los dibujos y las operaciones.

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