Probabilidad: concepto, tipos y ejemplos resueltos fáciles

La probabilidad es la parte de la estadística que mide la mayor o menor posibilidad de obtener un determinado resultado dentro de un experimento aleatorio. Por ejemplo, cuando se lanza un dado y se quiere saber cuál es la posibilidad de que caiga en 3; o en número par; o…

¿Qué es un experimento aleatorio?

Un experimento aleatorio es el que presenta distintos resultados, aunque se repita bajo las mismas condiciones. Sin embargo, no es simple azar, porque los resultados de dicho experimento, están dentro de un conjunto, bien definido, de soluciones posibles. Por ejemplo, al lanzar un mismo dado, varias veces, no siempre se obtiene el mismo resultado, pero siempre estará entre 1 y 6. Ese límite permite el análisis matemático del cálculo de probabilidades.

Tipos o clases de probabilidad

Según el origen de los datos, la probabilidad puede ser teórica o experimental. La primera está basada en razonamiento matemático. Por ejemplo, La probabilidad de obtener un 6 si se lanza un dado. La probabilidad experimental, por otra parte, se calcula repitiendo un evento muchas veces. Si al lanzar un dado 10 veces, el 7 se obtuvo 4 veces, la probabilidad experimental de obtener 7 es ⁴/₁₀ o 40%.

De acuerdo con su complejidad, la probabilidad puede ser simple o condicional. La probabilidad simple es aquella que no depende de información adicional. Por ejemplo, la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda, es 50%. Sin embargo, la probabilidad condicional, depende de información adicional. Si preguntan: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3, si el dado cae en número impar? La condición implica que solo se tienen en cuenta los casos en los que el dado cae en 1, 3 o 5. Es decir, ⅓.

Para el estudio de las probabilidades es necesario recordar o definir 2 conceptos:

1 – Evento: un evento (o suceso) (o caso) es cualquiera de los resultados posibles, en un experimento aleatorio. La tabla 2 muestra las clases de eventos.

2 – Espacio muestral: es el conjunto de todos los eventos posibles en un experimento aleatorio.

¿Cómo se calcula la probabilidad?

Uno de los métodos más usados para cuantificarla, es aplicando la regla de Laplace. Esta regla dice que la probabilidad (P) de un evento es igual al cociente entre los casos favorables (c_f) y los casos posibles (c_p). En lenguaje matemático es:

Con esta fórmula, la probabilidad se puede expresar como decimal o como fracción y su valor está entre 0 y 1 (0 ≤ P ≤ 1). No obstante, es más frecuente expresarla en porcentaje. Por esta razón, la fórmula de la probabilidad se escribe como

En este caso, su valor oscila entre 0% y 100%.

Para aplicar la regla de Laplace, el experimento aleatorio debe cumplir 2 condiciones:

1 – El número de resultados posibles (espacio muestral) tiene que ser finito.

2 – Cada uno de los resultados posibles debe tener las mismas probabilidades de obtenerse. Si al lanzar un dado, algunas las caras tienen más posibilidad de salir, que otras, la regla no puede aplicarse.

Ejercicios de probabilidad

A continuación se presentan 8 ejemplos de probabilidad resueltos paso a paso.

Ejemplo 1

Juan y María están jugando con un dado. Si Juan saca un 3 o más, gana. A: ¿Cuáles son los resultados en el espacio muestral? B: ¿Qué resultados satisfacen el evento 3 o más? C: ¿Cuál es la probabilidad de que el evento sea 3 o más?

Solución

A – Los resultados en el espacio muestral, son todos los posibles resultados al lanzar el dado (6 resultados), Es decir, 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

B – Los resultados satisfacen el evento 3 o más, son los eventos o casos favorables. Los que permiten que Juan pueda ganar. Ellos son 3, 4, 5 y 6. Esto es, 4 resultados.

C – Ahora debemos calcular la probabilidad. Para esto, se aplica la regla de Laplace, dividiendo casos favorables, entre casos posibles. Entonces,

Respuesta: recuerde que la probabilidad puede expresarse de varias formas. Como fracción (⅔), como una proporción (2 entre 3), como decimal (se divide 2 entre 3 lo que da 0,6666) o como porcentaje. (se multiplica el decimal por 100 y se tiene 66,66%). Lo más común es la expresión porcentual y es la que se usa en los próximos ejemplos. En pocas palabras, Juan tiene una probabilidad de ganar del 66,66%.

Ejemplo 2

A Nicole le gusta intentar adivinar el cumpleaños de las personas. ¿Cuál es la probabilidad de que pueda adivinar el mes correcto del cumpleaños de Jessica en el primer intento?

Solución

Hay 12 meses en el año. Por tanto, hay 12 resultados o casos posibles. Pero Nicole, solo puede seleccionar un mes, por tanto, hay solo 1 evento o caso favorable. Al aplicar la regla de Laplace queda:

Respuesta: La probabilidad de adivinar el mes del cumpleaños, en un intento, es de 8,33%. (Recuerde que, para llegar a este resultado, divide 1 entre 12 y multiplica por 100).

Ejemplo 3

Supongamos que pones a girar una ruleta como la de la imagen. Calcule las probabilidades de que la ruleta caiga en:
A. rojo;
B: rojo o azul.
C. verde.
D. un color diferente a rojo.

Solución

A – La ruleta está dividida en 5 partes. Por tanto, el espacio muestral o casos posibles es 5. Como de los 5, hay dos rojos, los casos favorables son 2. Entonces la probabilidad de caer en rojo es ⅖ o 40%

B – Como en el punto anterior, los casos posibles son 5. Pero aquí, los casos favorables también son 5 (2 rojos más 3 azules). La probabilidad es ⁵/₅ o 100% (es un evento seguro).

C – Los casos posibles son 5, pero los casos favorables son cero, porque no hay verde en la ruleta. Entonces la probabilidad es ⁰/₅. Es decir 0 (es un evento imposible).

D – De los 5 casos posibles, hay 3 que no son rojos. Esos 3 son casos favorables. Así que, la probabilidad es ⅗ o 60%.

Ejemplo 4

Encuentra la probabilidad de que un lanzamiento de un dado numérico dé como resultado un:
A. número primo.
B. Número par.
C. número mayor que 5.

Solución

A – En un dado, los casos posibles son 6. De estos, son números primos el 2, el 3 y el 5. Por tanto, los casos favorables son 3. Como resultado, la probabilidad es ³/₆ (Simplificando da ½) y esto equivale a 50%.

B – Este punto es idéntico al anterior, porque de los 6 casos posibles, 3 son números pares (2, 4 y 6). La probabilidad de obtener un número par es de ³/₆ 0 50%.

C – En este punto, de los 6 casos posibles, solo uno es mayor que 5. Por lo que la probabilidad es ⅙ o 16,66%.

Ejemplo 5

Para calcular probabilidades experimentales, un estudiante lanza un par de dados 50 veces y lleva, en una tabla, el registro de las sumas que aparecen. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cada suma del 2 al 12?

Solución

Al sumar los resultados del lanzamiento de un par de dados, las sumas oscilan entre 2 y 12 (fila suma). En la fila de resultados están las veces que se obtuvo cada suma durante el experimento. Por ejemplo, el 2 se obtuvo dos veces y el 3 se obtuvo cuatro veces. Estos valores son los casos favorables para cada suma. Por otro lado, los casos posibles (espacio muestral), son los 50 resultados de los 50 lanzamientos. Al aplicar la regla de Laplace, para hallar las probabilidades, cada resultado se divide entre 50 y se multiplica por cien. Por tanto, para el primer resultado, que es 2, la operación es:

Después de llenar la cuarta fila, la tabla queda así.

Ejemplo 6

El control de calidad es importante en muchas empresas. Un distribuidor tolera una tasa de defectos del 0,5 % por cada paquete de velas (mechas faltantes, astillas, etc.). Se realizaron pruebas en 3 fábricas proveedoras.

Completa la tabla para calcular la probabilidad de que una caja contenga velas defectuosas. ¿Qué fábricas pasaron la inspección?

Solución

Las cajas revisadas son los casos posibles y las cajas con defectos son los casos favorables. Por tanto, para la fábrica San Antonio, se tiene:

Se hace el mismo procedimiento para las fábricas Tulsa y Uvalde. La tabla completa queda así:

Respuesta: Las fábricas San Antonio y Tulsa, pasaron la prueba.

Ejemplo 7 (probabilidad condicional)

Supongamos que lanzas dos monedas y la primera moneda sale cara.
A. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos caras?
B. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos sellos?

Solución

Respuesta A. Si no supieras nada sobre la primera moneda, la probabilidad de que salgan dos caras sería de ¼. Sin embargo, como sabes que la primera moneda salió cara, el espacio muestral se reduce (ver figura). Ahora solo hay dos resultados posibles en el espacio muestral, en consecuencia, la probabilidad de que salgan dos caras es ½.

Respuesta B. Como la primera moneda sale cara, la probabilidad de que salgan dos sellos es 0.

Ejemplo 8

Dos críticos de cine, Gene y Roger, califican cada película que reseñan con un «me gusta» o un «no me gusta». La tabla muestra sus calificaciones de 213 películas.

A. ¿Cuál es la probabilidad de que Roger apruebe una película?
B. Si Gen aprueba una película, ¿cuál es la probabilidad de que Roger también lo haga?
C. Si Gen desaprueba una película, ¿cuál es la probabilidad de que Roger la apruebe?

Solución

Para responder la pregunta A, se puede observar (en la tabla) que, Roger aprueba 116 de 213 películas. Entonces, se aplica la regla de Laplace.

En la pregunta B, se observa que Roger aprueba 80 de las 100 películas que Gene aprueba. Por tanto, la operación es:

Para responder de la pregunta C, se observa que Gen desaprueba 113 películas. De ellas, Roger aprueba 36. En consecuencia, el resultado es:

Taller de lectura

1. ¿Qué es la probabilidad?
2. ¿Qué es un experimento aleatorio?
3. ¿Por qué es importante la probabilidad?
4. Defina las clases de probabilidad.
5. Copie la tabla que define los tipos de evento.
6. Escriba las fórmulas de la regla de Laplace.
7. Según la regla de Laplace ¿Qué condiciones debe cumplir un experimento aleatorio?
8. Copie 4 de los 8 ejercicios propuestos.