Mínimo común múltiplo y sus aplicaciones

El mínimo común múltiplo (mcm) es el número más pequeño que puede ser dividido exactamente por cada uno de los números dados, sin dejar un residuo. En otras palabras, el mcm se utiliza para encontrar el número más pequeño que es múltiplo común de dos o más números enteros. Gauss fue uno de los primeros en estudiar este concepto.
El mcm se usa en operaciones de suma y resta de fracciones con diferentes denominadores. Para sumar o restar estas fracciones, primero se debe encontrar un denominador común, el cual es el mcm de los denominadores de las fracciones dadas. Además, el mcm tiene aplicaciones en estadística en temas de probabilidad, cuando se trabaja con períodos, ciclos y secuencias.

¿Cómo calcular el mínimo común múltiplo?

Para sacar el mínimo común múltiplo de 2 o más números, se hallan los factores primos comunes y no comunes de los números dados.

Ejemplos de mínimo común múltiplo

Ejemplo 1

hallar el mcm de 3, 8 y 15.

Se halla el menor número primo que divide a alguno de los números. En este caso 2 divide a 8. 8÷2=4.
4 es divisible por 2. 4÷2=2. Los números que no se dividen se escriben en el siguiente renglón.
2 es divisible por 2. 2÷2=1.
3 y 15 son divisibles por 3 3÷3=1 y 15÷3=5.
Finalmente, 5 es divisible por 5. 5÷5=1.
El mcm de 3, 8 y 15 es 2×2×2×3×5=120. También se puede escribir como 2³×3×5=120

Ejemplo 2

hallar el mcm de 121, 605 y 1210.

Se halla el menor número primo que divide a alguno de los números. En este caso 2 divide a 1210. 1210÷2=605.
605 es divisible por 5. 605÷5=121. Los números que no se dividen se escriben en el siguiente renglón.
121 es divisible por 11. 121÷11=11.
11 es divisibles por 11. 11÷11=1.
En conclusión, el mcm de 121, 605 y 1210 es 2×5×11×11=1210.

Ejercicios de mínimo común múltiplo

Aplicando el mcm, se pueden resolver ejercicios como los siguientes:

Ejercicio 1

¿Cuánto mide la varilla de menor longitud que puede cortarse en pedazos de 8cm, 9cm o 15cm, sin que sobre ni falte nada?

Solución: La longitud de la varilla debe ser al mismo tiempo, múltiplo de 8, 9 y 15 (El mcm de estos números).

Se halla el mcm de 8, 9 y 15.

Se halla el menor número primo que divide a alguno de los números. En este caso 2 divide a 8. 8÷2=4.
4 es divisible por 2. 4÷2=2. Los números que no se dividen se escriben en el siguiente renglón.
2 es divisible por 2. 2÷2=1.
9 y 15 son divisibles por 3. 9÷3=3 y 15÷3=5.
3 es divisibles por 3. 3÷3=1.
5 es divisible por 5. 5÷5=1.
En resumen, el mcm de 8, 9 y 15 es 2×2×2×3×3×5=360.
Respuesta: El mcm se interpreta diciendo que la varilla debe tener una longitud de 360cm.

Ejercicio 2

¿Cuál es la menor cantidad de dinero que necesito para comprar un número exacto de camisas de 30, 45 o 50 pesos cada una?

Solución: La menor cantidad de dinero que necesito para comprar un número exacto de camisas, debe ser al mismo tiempo, múltiplo de 30, 45 y 50 (Es decir, es el mcm de estos números).

Se halla el mcm de 30, 45 y 50.

Se halla el menor número primo que divide a alguno de los números. En este caso 2 divide a 30. 30÷2=15. Del mismo modo, 2 es divisor de 50. 50÷2=25
15 y 45 son divisibles por 3. 15÷3=5 y 45÷3=15. Los números que no se dividen se escriben en el siguiente renglón.
15 es divisible por 3. 15÷3=5.
5 y 25 son divisibles por 5. 5÷5=1 y 25÷5=5.
finalmente, 5 es divisibles por 5. 5÷5=1.
Por lo tanto, el mcm de 30, 45 y 50 es 2×2×3×3×5×5=450.
Respuesta: La mínima cantidad de dinero que necesito para comprar un número exacto de camisas de 30, 45 o 50 pesos, es 450 pesos.

Taller de lectura

1. ¿Qué es el mínimo común múltiplo?
2. ¿Para qué se usa el mcm?
3. ¿Qué significan las letras mcm?
4. ¿Cómo se procede para sacar el mínimo común múltiplo de 2 o más números?
5. Copie, con la explicación, los ejemplos 1 y 1.
6. Copie los ejercicios 1 y 2, con el procedimiento.
7. Halle el mcm de los siguientes números:
   1. 46 y 69
   2. 32, 48 y 108

Aplicación de habilidades: (No use calculadora)

8. Desarrolle los siguientes ejercicios:
   1. Cada día en el zoológico, Óscar alimenta a los animales. El león debe alimentarse cada 6 horas, el chimpancé cada 4 horas y el elefante cada 2 horas. Si la primera comida del día se les suministra a todos a las cero horas (doce de la noche) ¿Cuándo vuelven a coincidir las horas de alimentación?
   2. ¿Cuál es el menor número de dulces necesario para repartir entre grupos de 20, 25 o 30 alumnos?