Máximo común divisor (MCD). Ejercicios paso a paso

Por Javier Cárdenas

El máximo común divisor de dos o más números, es el producto de sus divisores comunes. En otras palabras, el MCD representa el número entero más grande, que divide exactamente, a dos o más números enteros sin dejar un residuo. El proceso para calcularlo fue descrito por Euclides (300 a. C). Este concepto es particularmente útil en operaciones de radicación, factorización de números enteros, simplificación de fracciones y otros problemas matemáticos.

Concepto de máximo común divisor

¿Cómo calcular el máximo común divisor?

El método para hallar el MCD de dos o más números, es descomponer, dichos números, en los factores primos que los dividan a todos. A continuación, se desarrollan 2 ejemplos de máximo común divisor MCD.

Ejemplo 1: hallar el MCD de 18 y 45.

Máximo común divisor de 18 y 45

Primero, divida 18 y 45 entre 3. 18 ÷ 3 = 6 y 45 ÷ 3 = 15.
Segundo, divida 6 y 15 entre 3. 6 ÷ 3 = 2 y 15 ÷ 3 = 5.
No hay un número que divida a 2 y a 5.
Por tanto, el MCD de 18 y 45 es 3 × 3 = 9.

Ejemplo 2: hallar el MCD de 144 y 520.

MCD de 144 y 520

Primero, divida 144 y 520 entre 2. 144 ÷ 2 = 72 y 520 ÷ 2 = 260.
Segundo, divida 72 y 260 entre 2. 72 ÷ 2 = 36 y 260 ÷ 2 = 130.
Tercero, divida 36 y 130 entre 2. 36 ÷ 2 = 18 y 130 ÷ 2 = 65.
No hay un número que divida a 18 y a 65.
Por tanto, el MCD de 144 y 520 es 2 × 2 × 2 = 8.

Ejercicios de máximo común divisor

El MCD permite resolver problemas como los siguientes.

Ejercicio 1

Un lechero recoge la leche de tres fincas en cantinas con capacidad de 8 litros, 12 litros y 16 litros. Sin mezclar la leche de las fincas, debe empacarlas en botellas que contengan un número entero de litros. ¿Cuál es la mayor cantidad de leche que puede contener cada botella para que todas tengan la misma cantidad?

Solución: Para que todas las botellas contengan la misma cantidad de leche, se requiere encontrar un número que divida exactamente a las cantidades de leche de las tres cantinas. Este número es MCD de 8, 12 y 16.

MCD de 8, 12 y 16

Primero, se divide 8, 12 y 16 por dos.
Segundo, se divide 4, 6 y 8 por dos.
No hay un número que divida exactamente a 2, 3 y 4.
Por tanto, el MCD es 2 × 2 = 4.
Respuesta: El MCD se interpreta diciendo que cada botella debe contener cuatro litros de leche.

Ejercicio 2

Se requiere dividir cuatro varillas de 24 cm, 30cm, 42 cm y 66 cm, en pedazos de igual longitud. ¿Cuál es la máxima longitud que pueden tener las varillas? ¿Cuántos trozos de varilla resultan?

Solución: Como en el ejercicio anterior, se calcula el MCD de los números dados por el ejercicio.

Ejercicio de máximo común divisor

24, 30, 42 y 66 son divisibles por dos.
12, 15, 21 y 33 son divisibles por tres.
No hay un número que divida exactamente a 4, 5, 7 y 11.
Por tanto, el MCD es 2×3=6.
Respuesta: La longitud de las varillas debe ser de 6 cm. Además, resultan 27 trozos de varilla. Esta cantidad es la suma de los números que no tienen divisor común (4 + 5 + 7 + 11)

Taller de lectura

  1. ¿Qué es el máximo común divisor de dos o más números?
  2. ¿En qué aplicaciones es particularmente útil este concepto?
  3. ¿Qué significan las letras MCD?
  4. ¿Cuál es el método para hallar el MCD de dos o más números?
  5. Copie los ejemplos 1 y 2 con las explicaciones
  6. Copie los 2 ejercicio con la solución y la respuesta
  7. Halle el MCD de los siguientes números:
    1. a. 60 y 210
    2. b. 107 y 255

Aplicación de habilidades: (No use calculadora)

  1. Desarrolle los siguientes ejercicios:
    1. Se tienen tres cajas que contienen 1600 libras, 2000 libras y 3440 libras de jabón respectivamente. Es necesario dividir el jabón en bloques de igual peso. ¿Cuál es el máximo peso de cada bloque de jabón?
    2. Se tienen tres extensiones de terreno de 735m2, 1155m2 y 1785m2. Si se quieren dividir en lotes de igual superficie ¿Cuál es la mayor área posible de cada lote?

Comentarios

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *