Ley de senos: Concepto, fórmula y ejercicios de aplicación

Por Javier Cárdenas

La ley de senos o teorema de senos, es una herramienta para resolver triángulos oblicuángulos. En particular, cuando se conocen un ángulo, su lado opuesto y otro valor cualquiera del triángulo. (Otro ángulo u otro lado). La ley de senos tiene sus aplicaciones en áreas como navegación, arquitectura, ingeniería, topografía, astronomía y física en general. Esta ley fue establecida por el matemático alemán Johann Müller.

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ningún ángulo recto. En otras palabras, estos triángulos son diferentes a los triángulos rectángulos.

Enunciado y fórmula de la ley de senos

La ley de senos dice que los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. En el lenguaje de las matemáticas, esta ley se escribe como:

\[{a\over senA}={b\over senB}={c\over senC}\]

Esta es la fórmula de la ley de senos

Ejercicios de aplicación

La ley de senos se aplica en dos casos. Primero, si se conoce un lado, su ángulo opuesto y otro ángulo cualquiera. Segundo, si se conoce un ángulo, su lado opuesto y otro lado cualquiera.

Caso 1. Si se conocen un lado y 2 ángulos

Como se anotó arriba, en este caso se sabe el valor de un lado, su ángulo opuesto y otro ángulo cualquiera. Para resolver este modelo de ejercicio, primero se calcula el tercer ángulo. Para ello, se tiene en cuenta que los 3 ángulos de un triángulo suman 180°. En consecuencia, conocidos 2 ángulos A y B, el ángulo C se halla con la fórmula

C = 180° – (A+B)

Después de eso, se procede a calcular el valor de los lados. Para hacerlo, se busca el término de la fórmula de la ley de senos, cuyos datos se conozcan por completo. Luego, se compara con el término que contenga la variable a calcular. Finalmente, se despeja dicha variable para conocer su valor.

Ejercicio 1

Resolver el siguiente triángulo:

Ley de senos ejercicio 1

Solución: Para resolver el triángulo, primero, se halla el ángulo C. Como se conocen los ángulos A (40°) y B (55°), entonces el ángulos C es:

C = 180° – (40° + 55°) = 85°

Para continuar, se hallan los valores de los lados a y b. Al observar los datos del triángulo, es fácil darse cuenta que, de los 3 términos de la fórmula de la ley de senos, el que tiene datos completos es c/senC. Es decir, el valor de c es 5cm y el valor de C es 85°. Este término se compara con a/senA, para hallar el lado a. Además, se compara con b/senB, para encontrar el valor del lado b. En la práctica, esto se hace de la siguiente forma:

\[{c\over senC}={a\over senA}\]

Se reemplazan los valores

\[{5cm\over sen85°}={a\over sen40°}\]

A continuación, se despeja a.

\[a={5cm\times sen40°\over sen85°}=3.22cm\]

Para calcular el valor del lado b, se procede de la misma forma.

\[{c\over senC}={b\over senB}\]

Luego, se reemplazan valores

\[{5cm\over sen85°}={b\over sen55°}\]

Para continuar, se despeja b.

\[b={5cm\times sen55°\over sen85°}=4.1cm\]

En conclusión, al finalizar el procedimiento se conocen los 3 lados y los 3 ángulos del triángulo dado.

Ejercicio 2

Un avión es detectado al mismo tiempo por dos radares que están separados 3000Km. El ángulo de elevación de la señal del primer radar es de 35° y el ángulo entre las señales recibidas por el avión es de 105°. ¿Cuáles son las distancias del avión a cada uno de los radares?

Ejercicio 2, ley de senos

Solución: Como en el ejercicio anterior, al conocer 2 ángulos, lo primero que se hace es hallar el tercer ángulo que, en este caso, es el ángulo B. Por lo tanto, 

B = 180° –(35° + 105°) = 40°

Ahora, se hallan las distancias a y b, que son las distancias del avión a los radares. También en este ejercicio, el término de la fórmula con datos completos es c/senC. Es decir, el valor de c es 3000Km y el valor de C es 105°. Entonces, este término se compara con a/senA, para hallar la distancia a. Del mismo modo, se compara con b/senB, para encontrar el valor de la distancia b. Por lo tanto, 

\[{c\over senC}={a\over senA}\]

Al reemplazar los valores se tiene:

\[{3000Km\over sen105°}={a\over sen35°}\]

Despejando a, se obtiene la distancia al primer radar.

\[a={3000Km\times sen35°\over sen105°}=1773.28Km\]

Para finalizar, se calcula la distancia del segundo radar al avión. Esto es, la distancia b.

\[{c\over senC}={b\over senB}\]
\[{3000Km\over sen105°}={b\over sen40°}\]
\[b={3000Km\times sen40°\over sen105°}=1996.38Km\]

Caso 2. Si se conocen un ángulo y 2 lados

En este modelo de ejercicio, se conoce un lado, su ángulo opuesto y otro de los lados. En consecuencia, para resolver este tipo de ejercicio, lo primero que se hace es calcular el ángulo opuesto al otro lado dado. Después de eso, el procedimiento sigue como en los ejemplos anteriores.

Ejercicio 3

Resolver el siguiente triángulo:

Ejercicio 3

Solución: En este ejercicio se tiene completo el segundo término de la fórmula de la ley de senos. Es decir, b/senB. Este término se compara con a/senA para hallar el seno del ángulo A.

\[{b\over senB}={a\over senA}\]

Se reemplazan los valores.

\[{11\over sen45°}={10\over senA}\]

A continuación, se despeja senA.

\[senA={10\times sen45°\over11}=0.6428\]

Usando el inverso de la función seno se obtiene el valor del ángulo A.

sen–1 (0.6428)= 40°

Después de eso, se calcula el tercer ángulo (ángulo C).

C = 180° – (45° + 40°) = 95°

El ejercicio termina al calcularse el lado c.

\[{b\over senB}={c\over senC}\]
\[{11\over sen45°}={c\over sen95°}\]
\[c={11\times sen95°\over sen45°}=15.49\]
Ejercicio 4

Una torre se mantiene en equilibrio mediante dos cuerdas, como muestra la figura. La cuerda b, tiene un ángulo de elevación de 55° y la cuerda a tiene una longitud de 42.56m. Además, la distancia entre los puntos donde se fijan las cuerdas en el piso, es 45 metros. ¿Cuál es el ángulo de elevación de la cuerda a? ¿Qué ángulo forman las cuerdas en la parte superior de la torre? ¿Cuál es la longitud de la cuerda b?

Ley de senos ejercicio 4

Solución: En este caso se tienen completos los datos de la relación a/senA. Entonces, se usa la relación c/senC, para calcular el seno del ángulo C.

\[{a\over senA}={c\over senC}\]
\[{42.56m\over sen55°}={45m\over senC}\]
\[senC={45m\times sen55°\over42.56m}=0.866\]

Para encontrar el valor del ángulo C, se usa el inverso del seno.

sen–1 (0.866) = 60°

Ahora, se calcula el valor del ángulo B.

B = 180° – (55° + 60°) = 65°

Finalmente, se usa la relación b/senB, para hallar el valor de b.

\[{a\over senA}={b\over senB}\]
\[{42.56m\over sen55°}={b\over sen65°}\]
\[b={42.56m\times sen65°\over sen55°}=47m\]

En resumen, las respuestas a las preguntas del ejercicio son:

  • El ángulo de elevación de la cuerda a es 65° (ángulo B).
  • El ángulo que forman las cuerdas en la parte superior de la torre es de 60° (ángulo C).
  • La longitud de la cuerda b es de 47 metros.

Taller de lectura

  1. ¿Qué es la ley de senos y cuándo se usa en particular?
  2. ¿En qué áreas tiene sus aplicaciones la ley de senos?
  3. ¿Qué es un triángulo oblicuángulo?
  4. Escriba el enunciado y la fórmula de la ley de senos.
  5. ¿Cuánto suman los ángulos en un triángulo?
  6. Copie los enunciados, gráficas y procedimientos de los 4 ejercicios resueltos.

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