La divisibilidad. Divisores de un número

La divisibilidad, es la parte de la matemática que permite saber, por simple inspección, si un número es divisible entre otro de manera exacta. Es decir, sin dejar residuo. La divisibilidad es un concepto fundamental en la teoría de números. Se utiliza para investigar las propiedades de los números enteros, los números primos, los números compuestos y las relaciones entre ellos. Gauss fue el primero en estudiar este tema en profundidad.

Usos y aplicaciones de la divisibilidad

La divisibilidad se usa para calcular, por ejemplo, el máximo común divisor (MCD), el mínimo común múltiplo (mcm), en la simplificación de fracciones y en varios casos de factorización. Además, es aplicable en la solución de problemas cotidianos. Sin embargo, su importancia sobresale en aplicaciones tecnológicas como la informática, donde permite encontrar patrones en secuencias de números, generar secuencias específicas y optimizar procesos de cálculo. Del mismo modo, la divisibilidad se aplica en criptografía, que es la parte de la informática relacionada son la seguridad en la transmisión de datos.

Criterios y ejercicios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad son reglas específicas que permiten determinar, si un número es divisible por otro, con base en ciertas propiedades. Los criterios de divisibilidad se conocen también como reglas de divisibilidad. A continuación, se definen dichas reglas o criterios y se dan ejemplos de divisibilidad.

1 – Divisibilidad por 2

Son divisibles por dos, todos los números terminados en cero o cifra par.
Ejemplos:

• 2350 es divisible por dos porque 2350 ÷ 2 es igual a 1175.
• 9756 es divisible por dos porque 9756 ÷ 2 es igual a 4878.

2 – Divisibilidad por 3

Ejemplos: son divisibles por tres los números:

• 78 porque 7+8=15 y 15 es múltiplo de tres (3×5=15).
• 252 porque 2+5+2=9 y 9 es múltiplo de tres (3×3=9).
• 2853 porque 2+8+5+3=18 y 18 es múltiplo de tres (3×6=18).
• 19794 porque 1+9+7+9+4=30 y 30 es múltiplo de tres (3×10=30).

3 – Divisibilidad por 4

Son divisibles por cuatro, todos los números cuyas dos últimas cifras de la derecha son ceros o forman un múltiplo de cuatro.

Ejemplos: son divisibles por cuatro los números:

• 116 porque 16 es múltiplo de cuatro (4×4=16).
• 400 porque sus dos últimas cifras son ceros.
• 9000 porque sus dos últimas cifras son ceros.
• 356 porque 56 es múltiplo de cuatro (4×14=56).
• 1036 porque 36 es múltiplo de cuatro (4×9=36).

4 – Divisibilidad por 5

Son divisibles por cinco, todos los números terminados en cero o cinco.

Ejemplos: son divisibles por cinco los números:

• 20 porque su última cifra es cero.
• 235640 porque su última cifra es cero.
• 45635 porque su última cifra es cinco.
• 78955 porque su última cifra es cinco.

5 – Divisibilidad por 6

Son divisibles por seis, todos los números que son divisibles por dos y por tres.

Ejemplos: son divisibles por seis los números:

• 78 es divisible por dos, por ser un número par y es divisible por tres porque 7+8=15 y 15 es múltiplo de tres.
• 102 es divisible por dos por ser un número par y es divisible por tres porque 1+0+2=3 y 3 es múltiplo de tres.
• 582 es divisible por dos por ser un número par y es divisible por tres porque 5+8+2=15 y 15 es múltiplo de tres.
• 5922 es divisible por dos por ser un número par y es divisible por tres porque 5+9+2+2=18 y 18 es múltiplo de tres.
• 21654 es divisible por dos por ser un número par y es divisible por tres porque 2+1+6+5+4=18 y 18 es múltiplo de tres.

6 – Divisibilidad por 7

Un número es divisible por siete, cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por dos, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de siete.

Ejemplos: son divisibles por siete los números:

• 168 porque 16-(8×2) es igual a cero.
• 217 porque 21-(7×2) es igual a 7 y 7 es múltiplo de 7.
• 301 porque 30-(1×2) es igual a 28 y 28 es múltiplo de 7.
• 371 porque 37-(1×2) es igual a 35 y 35 es múltiplo de 7.
• 448 porque 44-(8×2) es igual a 28 y 28 es múltiplo de 7.

7 – Divisibilidad por 11

Un número es divisible por once, cuando la diferencia entre la suma de las cifras de lugar impar y la suma de las cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de once.

Ejemplos: son divisibles por once los números:

• 143 porque (3+1)-4 es cero.
• 209 porque (9+2)-0 es 11 y 11 es múltiplo de 11.
• 1078 porque (8+0) – (7+1) es cero.
• 13827 porque (7+8+1) – (2+3) es 11 y 11 es múltiplo de 11.
• 108515 porque (5+5+0) – (1+8+1) es cero.

8 – Divisibilidad por 10, 100, 1000, etc.

Un número es divisible por 10, 100, 1000, etc. Si termina en uno, dos, o tres ceros respectivamente.

Ejemplos:

• 9860 es divisible por diez porque tiene un cero al final.
• 5400 es divisible por cien porque tiene dos ceros al final.
• 56000 es divisible por mil porque tiene tres ceros al final.
• 560000 es divisible por diez mil porque tiene cuatro ceros al final.

Cómo determinar los posibles divisores de un número.

Para determinar los posibles divisores de un número, se aplican las reglas anteriores.

Ejemplo: determinar los divisores de 554400.

Solución:

• 54400 es divisible por dos, porque termina en cero.
• También, es divisible por tres porque la suma de sus dígitos es 5+5+4+4+0+0=18 y 18 es múltiplo de tres.
• Además, es divisible por cuatro porque sus dos últimas cifras son cero.
• Es divisible por cinco porque termina en cero.
• Adicionalmente, es divisible por seis porque es divisible por tres y por dos.
• Es divisible por siete porque al seguir el procedimiento de la divisibilidad por siete (ver más abajo) se obtiene 42 que es múltiplo de siete.
• Del mismo modo, es divisible por once porque (0+4+5)-(0+4+5) es cero. Además, es divisible por diez y por cien.

La divisibilidad por siete del número 554400 se obtiene de la siguiente manera: 55440-0 = 55440 y 5544-0 = 5544 y 554-8 = 546 y 54 -12 = 42 y 42 es múltiplo de siete (según el procedimiento explicado arriba).

Sin embargo, la manera más fácil de probar la divisibilidad de un número por otro, es realizar la división. Si la división es exacta, la divisibilidad se comprueba. En el ejemplo anterior 554400 ÷ 7 = 79200 entonces, 554400 es divisible por 7.

Taller de lectura

1. ¿Qué es divisibilidad y por qué se dice que es un concepto fundamental en la teoría de números?
2. ¿Cuáles son los usos y aplicaciones de la divisibilidad?
3. Defina los criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Además, escriba por lo menos 2 ejemplos de cada uno.
4. ¿Cuándo un número es divisible por 11? Escriba los ejemplos.
5. ¿Qué números son divisibles por 10, 100 o 1000? Escriba los ejemplos.
6. Escriba el ejemplo de los divisores del número 554400.
7. ¿Cuál es la manera más fácil de probar la divisibilidad de un número por otro?

Aplicación de habilidades: (No use calculadora)

8. Frente a cada frase, escriba falso o verdadero:
   • 12 no es divisible por tres porque es un número par _________.
   • 84 es divisible por 2, 4, 3 y 7 _________.
   • 13 es divisible por 1 y por 13 _________.
   • 31 es divisible por 4, porque sus dígitos suman 4 _________.
   • 156 es divisible por 11 _________
   • Todo número terminado en cero es divisible por 2, por 5 y por 10 _________.
   • 3 es un número primo _________.
9. Determine todos los posibles divisores de cada uno de los siguientes números:
   • 161
   • 154
   • 120
   • 210
   • 462