Gráficas de las funciones trigonométricas: características

Las gráficas de las funciones trigonométricas son herramientas visuales necesarias para comprender el comportamiento periódico de estas funciones. Por ejemplo, permiten observar cómo sus valores se repiten a lo largo de un ciclo.

Las gráficas de las funciones trigonométricas son fundamentales en estudio de fenómenos oscilatorios como las ondas de sonido y luz, y los movimientos armónicos. Por tanto, son valiosas en campos como la ingeniería y la física.

Finalmente, las gráficas facilitan la identificación de propiedades clave de las funciones, como el período, la amplitud y los puntos de intersección. Esto contribuye a una mejor comprensión de su naturaleza.

Leonhard Euler realizó contribuciones fundamentales en el análisis de las funciones trigonométricas.

Gráficas de las funciones trigonométricas seno y coseno

Las gráficas de las funciones y = sen(x) y y = cos(x), tienen las siguientes características:

• Se muestran líneas continuas en forma de “onda” que se repiten de forma ilimitada.
• Son periódicas por repetir sus valores en intervalos constantes. Por ejemplo; el valor del seno es cero para 0°, π y 2π en el primer ciclo, y el valor del coseno es 1, para 0°, π y 2π en el primer ciclo.
• Cada ciclo equivale a 2π radianes (360°). A un ciclo se le llama también periodo. Es decir que la función y = sen(x), tiene un periodo igual a 2π. La figura 1, muestra un ciclo de esta función. El siguiente ciclo, entre 2π y 4π, tiene la misma forma. En el caso de la función y = cos(x), ocurre lo mismo.
• La amplitud es 1. Es decir que la función y = sen(x), tiene valor máximo en 1 y valor mínimo en −1. La amplitud de la función y = cos(x), también es 1.

Los valores posibles del eje vertical (y), en una función cualquiera, constituyen el rango de la función. Es decir que el rango de las funciones, y = sen(x) y y = cos(x), es (−1, 1). Es decir, todos los valores comprendidos entre -1 y 1.

Los posibles valores del eje horizontal (x), en una función cualquiera, constituyen el dominio de la función. El dominio de las funciones, y = sen(x) y y = cos(x), es (−∞, ∞). Esto quiere decir que se pueden calcular las funciones seno y coseno para cualquier ángulo negativo o positivo.

Gráfica de la función tangente

La gráfica de la función y = tan(x), tiene otras características. Dado que la tangente de 90° (π/2 radianes) y 270° (3π/2 radianes) no existe porque sus valores tienden a infinito, la línea no es continua. Su dominio va desde −∞ hasta ∞ (−∞, ∞), y su rango es indefinido.

Variaciones en las gráficas de las funciones trigonométricas

La amplitud y el periodo de una función trigonométrica, cambia cuando se adicionan factores y/o sumandos a la función natural (y = sen(x) y y = cos(x)). En consecuencia, también varía su gráfica. Vea los siguientes ejemplos:

Inserción de un factor

1 – Al multiplicar la función y = sen(x), por un número a, se tiene la función y = asen(x). Al graficar se observa que a, es la amplitud de la función. Por ejemplo,
En la función y = 3sen(x), la amplitud es 3. (Observe la figura 4).

2 – Al multiplicar un ángulo x por un número b, se obtiene la función y = sen(bx). La inclusión del factor b, determina el periodo (T) de la función, que se calcula dividiendo 2π entre el valor absoluto de b. Es decir:

Por ejemplo, el periodo de la función y = sen (2x) es:

Note que al multiplicar el ángulo por 2, el periodo se reduce a la mitad. El cambio en la gráfica de la función se ve en la figura 5.

Inserción de un sumando o un sustraendo

3 – Al restar de un ángulo x un ángulo c, se tiene la función y = sen (x − c). esta resta provoca el desfasamiento o desplazamiento horizontal de la gráfica. En el ejemplo, la función y = sen (x – π/2), La gráfica se desplaza π/2 unidades a la derecha. Ver figura 6.

4 – Al sumar un número real d a la función seno de un ángulo x, se obtiene y = sen(x)+d. En consecuencia, la gráfica se desplaza verticalmente. En el ejemplo, la función y = sen(x)+ 2, la gráfica se desplaza 2 unidades hacia arriba. ver figura 7.

En la siguiente tabla se resumen las variaciones explicadas.

Taller de lectura

1. Escriba las características de las funciones y = sen(x) y y = cos(x).
2. ¿Cuál es el rango de las funciones y = sen(x) y y = cos(x)?
3. ¿Cuál es el dominio de las funciones y = sen(x) y y = cos(x)?
4. Dibuje las gráficas de las funciones y = sen(x) y y = cos(x).
5. Escriba las características de la función tangente.
6. ¿Qué características de una función trigonométrica cambian, cuando se adicionan factores y/o sumandos a la función natural?
7. Copie la tabla que resume las características tratadas en el tema.
8. Responda las siguientes preguntas de acuerdo con la información presentada en los 4 ejemplos
   1. ¿Cuál el valor de la amplitud para cada una de las siguientes funciones: y = 5sen(x) y y = 2cos(x)?
   2. ¿Cuál es el periodo de la función y = cos(3x)?
   3. ¿Cuál es el desfasamiento de la función y = cos(x-π/6)?
   4. ¿Hacia dónde se desplaza la gráfica de la función y = sen(x) – 4? ¿De cuántas unidades es el desplazamiento?
   5. ¿Cuál es la amplitud, el periodo, el desfasamiento y el desplazamiento vertical de la función y = 2sen 3(X – π/12) +5?