Factorización: herramienta esencial para dominar el álgebra

La factorización es el proceso de descomponer una expresión matemática en partes más pequeñas, llamadas factores.

Con seguridad, ya tienes experiencia descomponiendo un número en sus factores primos. Pues bien, la factorización es algo similar, pero aplicado a expresiones algebraicas.

Por ejemplo, el número 12 puede representarse como 4 × 3 que, al multiplicarse entre sí, dan como resultado la cantidad original. De igual modo, un monomio como 18xy, puede factorizarse como 2 · 3 · 3 · x · y.

Nota: En el famoso libro de álgebra de Aurelio Baldor, a este concepto se le denomina «descomposición factorial”.

¿Por qué es importante?

La factorización es el corazón del álgebra y un pilar en las matemáticas en general. Te ayuda a resolver ecuaciones, simplificar expresiones algebraicas y entender patrones en funciones. Se aplica en ciencias naturales obtener fórmulas y ecuaciones que permiten modelar fenómenos físicos. Asimismo, se aplica en ingenierías, economía y otras áreas del conocimiento, para analizar y solucionar problemas grandes dividiéndolos es partes más pequeñas y manejables.

Tips prácticos para entender y aplicar la factorización

1 – Dominar conceptos básicos

Procura revisar tus conocimientos sobre conceptos como:

• Términos algebraicos (monomios, binomios y polinomios) e identificar coeficientes, variables y exponentes.
• Leyes de la multiplicación, principalmente, la ley distributiva.
• Descomposición de dos o más números en sus factores comunes.
• Reglas de los signos para determinar el signo final en operaciones con números reales.
• Operaciones con fracciones homogéneas y heterogéneas.
• Comprensión de términos operativos como diferencia, producto, cociente, etc.

2 – Identificar patrones

La identificación de patrones es una técnica clave para resolver problemas matemáticos en general y, en particular, para la factorización. Por ejemplo, supón que quieres aplicar la diferencia de cuadrados a una expresión algebraica. Para esto, debes reconocer que se trata de dos términos restados (como a² – b²) y verificar que ambos tengan raíces cuadradas exactas.

3 – comienza con lo básico

Inicia con ejercicios cortos con coeficientes enteros. Luego incrementa, poco a poco, el nivel de complejidad.

4 – Practica

La práctica hace al maestro. Enfréntate a ejercicios propuestos en libros y otros recursos. También, a problemas prácticos (dividir presupuestos, calcular áreas, etc.).

Ejemplo

Factorizar 15x² – 45xy.

Los coeficientes 15 y 45 tienen factores comunes 3, 5 y 15. Tomamos 15 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras, x también es factor común porque está en ambos términos y se toma la de menor exponente. En síntesis, el factor común es 15x. Este se escribe como coeficiente de un paréntesis y, dentro, los cocientes de dividir 15x² entre 15x.

y 45xy entre 15x.

En resumen,

En este ejercicio aplicamos dos conceptos básicos: cálculo de factores comunes de dos números y simplificación de fracciones.

¿Cómo comprobar que la factorización de una expresión algebraica es correcta? Se multiplican los factores que se obtienen y el producto debe ser igual a la expresión que se factorizó.

Conclusión

Hemos aprendido qué es la factorización, por qué es importante y qué debemos tener en cuenta para entenderla y aplicarla. Antes de empezar a estudiar los 10 casos de factorización, responde el siguiente cuestionario:

Taller de lectura

1. ¿Qué es factorización?
2. Nombre 3 aspectos por los que es importante la factorización.
3. Cite los tips necesarios para aprender fácilmente a factorizar.
4. Use como guía el ejemplo para resolver el siguiente ejercicio: factorizar 10m² + 15m³.

Casos de factorización

Caso I. Factor común

Cuando aparece un mismo factor en todos los términos de un polinomio.

Procedimiento:

Se halla el factor común y se escribe como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis, se escriben los cocientes que resultan de dividir cada término entre el factor común.

Ejemplo 1

Factorizar 15x³y² – 60x²y³.

Primero, halla el factor numérico. En este caso, el máximo común divisor entre 15 y 60 es 15. Ahora el factor de las letras. x está en los dos términos y se toma el de menor exponente (x²). Del mismo modo, y está en ambos términos y se toma (y²) (el de menor exponente). Juntando estos valores, se tiene que el factor común es 15x²y².

Ahora, se divide cada término entre el factor común:

Para terminar, se escribe el factor común y, entre paréntesis, los resultados de las divisiones. En consecuencia,
15x³y² – 60x²y³ = 15x²y²(x – 4y)

Ejemplo 2

Factorizar 3m²n + 2mn² – 2mn

En este ejercicio, no hay factor común numérico y el factor literal, es mn (porque ambas letras están en los dos términos y se toman las de menor exponente). A continuación, se divide el factor común entre cada uno de los términos. Puede hacerse de forma separada, como en el ejercicio anterior, o plantear una sola división:

Finalmente, se escribe el factor común y, entre paréntesis, el resultado de la división. Así que,
3m²n + 2mn² – 2mn = mn(3m + 2n – 2).

Ejemplo 3

Factorizar (x + 3)(x + 1) – 5(x + 1)

En los dos términos se repite la expresión (x + 1), por tanto, este es el factor común. Luego, se hace la división:

En resumen,
(x + 3)(x + 1) – 5(x + 1) = (x + 1)[(x + 3) – 5]

Caso II. Factor común por agrupación de términos

Para factorizar por agrupación de términos, primero se agrupan los términos que tengan algún factor común (generalmente, de dos en dos). Luego, cada grupo se factoriza según el caso I, de manera que lo que quede dentro de los paréntesis, sea exactamente igual. Esto será el factor común final.

Ejemplo 4

Factorizar x² + xy + xz + yz.

Inicialmente, se agrupan el primer y segundo término que tienen factor común x y el tercero y cuarto que tienen factor común z.

(x² + xy) + (xz + yz).

Acto seguido, se factoriza cada grupo aplicando factor común (caso I).

x(x + y) + z(x + y) Observe que en los dos paréntesis quedó exactamente lo mismo. Para finalizar, se escribe este factor y, en otro paréntesis, se escriben valores que quedaron fuera.

(x + y) + (x + z). En conclusión,

x² + xy + xz + yz = (x + y) + (x + z).

Ejemplo 5

Factorizar 3abx² – 2y² – 2x² + 3aby².

Para resolver este ejercicio, se agrupan el primer y tercer término que tienen en común x². Además, el segundo con el cuarto, que tienen en común y².

(3abx² – 2x²) + (3aby² – 2y²). Como ya se explicó, se factoriza cada grupo aplicando factor común (caso I).

x²(3ab – 2) + y²(3ab – 2). Observe que en los dos paréntesis quedó (3ab – 2). Para finalizar, se escribe este factor y, en otro paréntesis, se escriben valores que quedaron fuera.

(3ab – 2)(x² + y²). Por tanto,

3abx² – 2y² – 2x² + 3aby² = (3ab – 2)(x² + y²)

Caso III. Trinomio cuadrado perfecto

¿Cómo factorizar un trinomio cuadrado perfecto? Se extrae la raíz cuadrada del primero y tercer término y se separan estas raíces con el signo del segundo término. El binomio obtenido se escribe entre paréntesis y se eleva al cuadrado (ver figura 2).

Ejemplo 5

Factorizar 9 + 6x + x².

La raíz cuadrada de 9 es 3 y la raíz cuadrada de x², es x.
Como el signo del segundo término es positivo, se escribe 3 + x. Esto va entre paréntesis elevado al cuadrado. Por lo tanto, el ejercicio queda:
9 + 6x + x² = (3 + x)²

Ejemplo 6

Factorizar 1 + a¹⁰ – 2a⁵.

En ocasiones, es necesario ordenar el trinomio. En este caso, los primeros términos tienen raíz cuadrada exacta, pero el tercer término no. Entonces, pasamos este último término al centro, conservando su signo. Queda:
1 – 2a⁵ +a¹⁰.
Ahora sí, la raíz cuadrada de 1 es 1 y la raíz cuadrada de a¹⁰ es a⁵. En consecuencia, tenemos que:
1 – 2a⁵ + a¹⁰ = (1 – a⁵)².

Ejemplo 7

Factorizar a² + 2a(a + b) + (a + b)².

Algunas veces el trinomio parece más complejo. En este ejercicio, por ejemplo, el primer término es a², el segundo es 2a(a + b) y el tercero es (a + b)². Procedemos como en los ejercicios anteriores: la raíz cuadrada de a² es a y la raíza cuadrada de (a + b)² es (a + b). En resumen,
a² + 2a(a + b) + (a + b)² = [a + (a + b)]². Convenimos en usar corchetes para mayor claridad.

Caso IV. Diferencia de cuadrados perfectos

Este es el caso de factorización más sencillo. Para factorizar una diferencia de cuadrados, se calcula la raíz cuadrada de cada uno de los dos términos. Después, multiplicamos la suma de esas raíces por su diferencia. Su fórmula es:
a² – b² = (a + b)(a – b)

Ejemplo 8

Factorizar 25x² – 36y⁴.
La raíz cuadrada de 25x² es 5x
Y la raíz cuadrada de 36y⁴ es 6y².
La suma de las raíces es (5x + 6y²) y la diferencia es (5x – 6y²). Finalmente, se escriben como producto (5x + 6y²)( 5x – 6y²)
En resumen, 25x² – 36y⁴ = (5x + 6y²)( 5x – 6y²).

Ejemplo 9

Factorizar (a + b)² – c².
En este ejercicio, uno de los cuadrados es una expresión compuesta, sin embargo, el procedimiento es igual
La raíz cuadrada de (a + b)² es (a + b)
Mientras la raíz cuadrada de c² es c.
La suma de las raíces es [(a + b) + c] y la diferencia es [(a + b) – c]. Ahora, se escriben como producto [(a + b) + c] [(a + b) – c] o también, (a + b + c) (a + b – c).
En conclusión, (a + b)² – c² = (a + b + c) (a + b – c).

Ejemplo 10

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