Los eventos dependientes e independientes surgen al analizar la relación entre dos sucesos. En el primer caso, la ocurrencia de un evento afecta la probabilidad del otro. En el segundo, no existe ninguna influencia. Lo importante, es determinar si el conocimiento de un evento cambia (o no) las expectativas del otro.
Por ejemplo, imagina que sacas un as de una baraja de 52 cartas. La probabilidad de sacar un as, es de 4/52 o 7,7%. Si no lo devuelves, la probabilidad de sacar otro as, es de 3/51 o 5,8%. Es decir, la probabilidad de esta carta dependió de la anterior. Eso es un evento dependiente. Si la devuelves, no hay relación y cada as tendrá una probabilidad de 4/52. Los eventos, entonces, son independientes. ¿Ves la diferencia?
En otras palabras, los eventos dependientes son aquellos cuya probabilidad varía si otro evento asociado ha ocurrido.
Igualmente, los eventos independientes son aquellos cuya probabilidad permanece igual, ocurra o no, otro evento relacionado.
Cómo identificar eventos dependientes e independientes
Cuando te enfrentes a un problema de probabilidad, puedes seguir estos 3 pasos para distinguir si los eventos son dependientes o independientes:
1 – Busca pistas en el enunciado. Si el enunciado tiene frases como ‘sin ‘reposición’, ‘sin devolver’, ‘dado que’ o cualquier otra palabra que indique condición, se trata de eventos dependientes. Por el contrario, si encuentras frases como «Con reposición», «con devolución», «eventos separados» o frases similares, los eventos son independientes.
2 – Intenta responder esta pregunta: ¿La ocurrencia del evento A, cambia la probabilidad del evento B? Si la respuesta es positiva, los eventos son dependientes. De otro modo, son independientes.
3 – Procura ver si hay relación casual o física. Cuando los eventos están físicamente desconectados, por ejemplo, lanzar una moneda y un dado, los eventos son independientes. Pero, si hay un vínculo los eventos son dependientes.
Ejemplo
Juan y María, tienen una cesta con 3 bolas verdes y 2 rojas. Intentan, con los ojos vendados, extraer una bola roja.
¿Cómo se calcula la probabilidad de eventos dependientes e independientes?
Para calcular la probabilidad en eventos dependientes e independientes, se usa la regla de multiplicación. Sin embargo, para cada tipo de evento, la fórmula es diferente.
Regla de multiplicación para eventos independientes
Esta regla dice que, si dos eventos A y B son independientes, la probabilidad de que ambos ocurran, es igual a la probabilidad de A por la probabilidad de B. Su fórmula es:
P(A y B) = P(A) × P(B)
Regla de multiplicación para eventos dependientes
También conocida como regla de probabilidad conjunta. Dice que, si dos eventos A y B son dependientes, la probabilidad de que ambos ocurran, es igual a la probabilidad de A por la probabilidad de B cuando A ya ha ocurrido. La fórmula es:
P(A y B) = P(A) × P(B|A)
problemas de probabilidad con eventos dependientes e independientes
Ejercicios resueltos de eventos independientes
Ejemplo 1
Tienes dos monedas con la misma probabilidad de caer cara (C) o sello (S). Si lanzas ambas, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea cara y la segunda sea sello?
Solución
El lanzamiento de una moneda no influye en la probabilidad de la segunda. Por tanto, los eventos son independientes. La probabilidad de que la primera moneda salga cara es ½. Es decir, P(A) = ½. Además, la probabilidad de que la segunda moneda salga sello es ½. Es decir, P(B) = ½. En consecuencia la probabilidad de los dos eventos es P(A y B) = ½×½ = ¼ o 25%
Ejemplo 2
En un colegio, el 60% de los días, el postre es pizza y el 30% helado. El menú se decide al azar cada día. ¿Cuál es la probabilidad de que hoy haya pizza y mañana haya helado?
Solución
En este ejercicio, cada evento tiene su probabilidad definida (60% y 30%). Por tanto, son eventos independientes. La probabilidad de A, P(A) es 60% o 0,6 y la de B P(B) es 30% o 0,3. Entonces la probabilidad P(A y B) = 0,6 × 0,3 = 0,18 o 18%.
Ejemplo 3
Tienes un dado rojo y un dado azul. ¿Cuál es la probabilidad de que el dado rojo caiga en par (2, 4, 6) y el dado azul caiga en 5?
Solución
El lanzamiento de un dado no afecta la probabilidad del otro. Estos eventos son independientes. Para el dado rojo, P(A) es 3/6. Para el dado azul P(B) es 1/6. En consecuencia la probabilidad de los dos eventos P(A y B) = 3/6 × 1/6 = 3/36. Simplificando queda 1/12 o 8,33%.
Ejemplo 4
En una bolsa hay 4 canicas rojas y 3 verdes. Sacas una, la devuelves, y sacas otra. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda sea verde?
Solución
Como devolviste la canica después del primer movimiento, no hay influencia en la probabilidad del segundo movimiento. Es decir que, los eventos son independientes. Para las canicas rojas P(A) es 4/7 y para las canicas verdes P(B) es 3/7. Por lo tanto, la probabilidad P(A y B) = 4/7 × 3/7 = 12/49 o 24,5%.
Ejemplo 5
En tu camino a casa hay dos semáforos. Cada uno tiene un 50% de probabilidad de estar en verde cuando llegas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos estén en verde al mismo tiempo?
Solución
Los eventos son independientes porque el cambio en un semáforo no altera la probabilidad del otro. Entonces, la probabilidad P(A) es 50% o 0,5 y la probabilidad P(B) es 0,5. Como resultado, la probabilidad P(A y B) = 0,5 × 0,5 = 0,25 o 25%
Ejercicios resueltos de eventos dependientes
Ejemplo 6
En un estuche hay 5 lápices negros y 3 lápices de colores. Tomas dos lápices sin devolver el primero. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero sea negro y el segundo sea de color?
Solución
La probabilidad de que el primer lápiz sea negro es de 5/8. Como el primer lápiz no se devolvió, la probabilidad de que el segundo lápiz sea de color es de 3/7 (Porque ahora hay 8 lápices).
En otras palabras, P(A) = 5/8 y P(B|A) = 3/7. En consecuencia, la probabilidad P(A y B) = 5/8 × 3/7 = 15/56 o 26,78%.
Ejemplo 7
Una caja tiene 6 galletas de chocolate y 4 de vainilla. Tomas una galleta y te la comes. Luego sacas otra. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea de chocolate y la segunda sea de vainilla?
Solución
La probabilidad de que la primera galleta sea de chocolate es P(A) = 6/10. De igual modo, la probabilidad de que la segunda sea de vainilla es P(B|A) = 4/9. Entonces, la probabilidad P(A y B) = 6/10 × 4/9 =24/90 o 26,66%.
Ejemplo 8
En un equipo de 10 jugadores, 3 son defensas y 7 son delanteros. El entrenador elige dos capitanes al azar, uno tras otro, sin repetir. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer capitán sea defensa y el segundo sea delantero?
Solución
La probabilidad de que el primer capitán sea defensa es P(A) = 3/10. Así mismo, la probabilidad de que el segundo capitán sea delantero es P(B|A) = 7/9. Como resultado, la probabilidad P(A y B) = 3/10 ×7/9 = 21/90 o 23,33%.
Ejemplo 9
En una mochila hay 4 libros de misterio y 5 libros de aventuras. José toma uno y no lo devuelve. Luego, José toma otro. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero sea de misterio y el segundo también sea de misterio?
Solución
La probabilidad de que el primer libro sea de misterio es P(A) = 4/9. Además, la probabilidad de que el segundo también sea de misterio es P(B|A) = 3/8. En resumen, la probabilidad P(A y B) = 4/9 × 3/8 = 12/72 o 16,66%.
Ejemplo 10
Una canasta tiene 6 manzanas rojas y 4 manzanas verdes. Tomas dos manzanas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda sea verde?
Solución
La probabilidad de que la primera manzana sea roja es P(A) = 6/10. Adicionalmente, la probabilidad de que la segunda sea verde es P(B|A) = 4/9. Por tanto, la probabilidad P(A y B) = 6/10 × 4/9 = 24/90 o 16,66%
Taller de lectura
- Escriba la definición de eventos dependientes e independientes.
- Copie los 3 pasos para distinguir si dos eventos son dependientes o independientes.
- Escriba las fórmulas de la regla de multiplicación para los 2 tipos de eventos.
- Copie al menos 6 de los ejercicios resueltos.
La base de los análisis modernos de dependencia e independencia de eventos se deben a Andrey Kolmogórov.
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