Sistema de numeración decimal: características principales

El sistema que utilizamos actualmente, en casi todo el mundo, se llama sistema de numeración decimal (o de base 10). Sus símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) se denominan dígitos porque son diez. Se les llama también indo-arábigos, porque fueron desarrollados por matemáticos hindúes (alrededor de los siglos V-VI d.C.). Luego fueron difundidos y perfeccionados por los árabes, quienes los introdujeron en Europa a través de la península ibérica.

Antes de continuar, aclaremos esto:

• ¿Qué es la numeración? es la parte de la aritmética que enseña a expresar, escribir y operar con los números.
• ¿Qué es un sistema de numeración? es un conjunto de símbolos (dígitos) que se usan según reglas definidas para representar cantidades. Entre los sistemas más conocidos están el sistema romano (I, V, X, L, C, D, M) y el sistema decimal (el que usamos hoy).

Características del sistema de numeración decimal

El sistema de numeración decimal tiene 3 características básicas:

1. Está formado por diez símbolos (dígitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Estos símbolos permiten representar cualquier cantidad, por grande o pequeña que sea.
2. Utiliza base diez (sistema decimal): Diez unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediato superior. Ejemplos:
   o 10 unidades = 1 decena
   o 10 decenas = 1 centena
   o 10 centenas = 1 unidad de mil
   o 10 unidades de mil = 1 decena de mil (y así sucesivamente).
3. Es un sistema posicional (de valor relativo o valor posicional): El valor de cada dígito depende de la posición que ocupa en el número (unidades, decenas, centenas …). Ejemplo con el dígito 2:
   o En 200 → 2 centenas = 200
   o En 20 → 2 decenas = 20
   o En 2 → 2 unidades = 2

Nota: El cero actúa como marcador de posición. Sin el cero, no podríamos distinguir, por ejemplo, entre 102, 12 y 120.

Valor posicional, forma expandida y descomposición polinómica

En primaria aprendiste a descomponer un número en unidades, decenas, centenas, etc., para entender el valor posicional de los dígitos en un número. Usaste una tabla de valor posicional como la siguiente:

Por ejemplo, 537 = 5 centenas + 3 decenas + 7 unidades.

Seguramente, también expresaste un número de forma expandida. Siguiendo con el ejemplo anterior, sabes que:

• 5 centenas = 500.
• 3 decenas = 30.
• 7 unidades = 7

Por lo tanto, 537 = 500 + 30 + 7.

Ahora conocerás la descomposición polinómica, que consiste en expresar el número como la suma de cada dígito multiplicado por una potencia de 10 según su posición.

Para el mismo ejemplo: 537 = 5 × 10² + 3 × 10¹ + 7 × 10⁰ (ver figura 1).

Estos tres procedimientos se diferencian entre sí:

• El primero, usa palabras (unidades, decenas, centenas) y es visual y descriptivo.
• La forma expandida deja ver el valor numérico de cada posición.
• La descomposición polinómica usa potencias de 10 y es más algebraica y precisa.

Por otro lado, las 3 formas permiten entender el valor posicional de las cifras. Pero, en particular, la descomposición polinómica es más útil a la hora de:

• Realizar operaciones aritméticas (es un buen recurso para cálculos mentales)
• Cambiar entre sistemas de numeración.
• Comprender la notación científica o exponencial.
• Trabajar con números más grandes.
• Demostrar reglas matemáticas (como los criterios de divisibilidad).

¿Funciona con decimales?

La descomposición polinómica funciona igual a izquierda y derecha de la coma. A la izquierda usamos potencias positivas (10¹, 10²…), a la derecha potencias negativas (10⁻¹, 10⁻²…), mostrando que el sistema decimal es completamente simétrico.

• Décimas → 10⁻¹ = 0,1
• Centésimas → 10⁻² = 0,01
• Milésimas → 10⁻³ = 0,001

Ejemplo 1

Exprese 19.728 usando la tabla de valor posicional, forma expandida y descomposición polinómica.

Solución:

Usamos la tabla de valor posicional como guía

✅ Con base en la tabla 19.728 = 1 decena de mil; 9 unidades de mil; 7 centenas; 2 decenas; 8 unidades.

✔ Con forma expandida 19.728 = 10000 + 9000 + 700 + 20 + 8 porque:

• 1 decena de mil = 10.000
• 9 unidades de mil = 9.000
• 7 centenas = 700
• 2 decenas = 20
• 8 unidades = 8

✅ Con descomposición polinómica 19.728 = 1 × 10⁴ + 9 × 10³ + 7 × 10² + 2 × 10¹ + 8 × 10⁰.

Ejemplo 2 (con decimales)

Exprese 56,15 usando la tabla de valor posicional, forma expandida y descomposición polinómica.

tabla para decimales

✅ Con base en la tabla 56,15 = 5 decenas; 6 unidades; 1 décima; 5 centésimas.

✔ Con forma expandida 56,15 = 50 + 6 + 0,1 + 0,05 porque:

• 5 decenas = 50
• 6 unidades = 6
• 1 désima = 0,1
• 5 centésimas = 0,05

✅ Con descomposición polinómica 56,15 = 5 × 10¹ + 6 × 10⁰ + 1 × 10^-1 + 5 × 10^-2

Taller de lectura

1. ¿Qué es la numeración?
2. ¿Qué es un sistema de numeración?
3. ¿Cuáles son los sistemas de numeración más conocidos?
4. ¿Qué sistema se utiliza actualmente?
5. Explique las tres características principales del sistema decimal.
6. ¿Qué es el valor posicional? ¿Por qué es importante el cero?
7. ¿Cómo se utilizan el punto y la coma al escribir números? Escriba tres ejemplos.
8. Exprese los siguientes números usando la tabla de valor posicional, forma expandida y descomposición polinómica.
   a. 259
   b. 1.235
   c. 32.149
   d. 16,23
   e. 102,34
   f. 1,05