Operaciones inversas entre potencias, raíces y logaritmos

Antes de abordar las operaciones inversas entre potencias, raíces y logaritmos, repasemos el concepto básico.

¿qué son operaciones inversas?

Las operaciones inversas u operaciones opuestas, son como pares de operaciones matemáticas que se deshacen mutuamente.

Por ejemplo, si usando la suma juntas el 3 y el 5, tienes 3 + 5 = 8. Pero, usando la resta, puedes separarlos de nuevo: 8 – 5 = 3 o 8 – 3 = 5. Como resultado, se dice que la suma es la operación inversa de la resta y viceversa. La resta ‘deshace’ la suma, recuperando o volviendo a los valores iniciales.

Lo mismo ocurre entre la multiplicación y la división. Si multiplicas dos números, puedes separarlos con la división. Por ejemplo, piensa en la operación 4 × 6 = 24. Multiplicas 4 por 6 y obtienes 24 y, si quieres separarlos puedes dividir 24 ÷ 4 = 6 o 24 ÷ 6 = 4. En resumen, la multiplicación y la división son operaciones inversas entre sí.

Una curiosa relación entre potencias, raíces y logaritmos

Durante una clase, una estudiante me hizo notar que en una ocasión dije: ‘la raíz es la operación inversa de la potencia.’ Y en otra oportunidad afirmé: ‘el logaritmo es la operación inversa a la potencia’. Entonces, me preguntó: ¿Cómo pueden ser ciertas estas dos afirmaciones?

¡Esa es una buena pregunta!

Le contesté que, la potencia tiene dos operaciones inversas, cada una respondiendo a una pregunta diferente.

La raíz es la operación inversa a la potencia, cuando se desconoce la base. Por su parte, el logaritmo es la operación inversa a la potencia, cuando se desconoce el exponente. ¡Aquí va la explicación!

Operaciones inversas: Potencias y raíces

Recuerda que una potencia es como multiplicar un número por sí mismo varias veces. Por ejemplo, 2³ significa 2 × 2 × 2 = 8. Aquí, 2 es la base y 3 es el exponente y 8 es la potencia. La raíz es la operación inversa cuando necesitas conocer la base. Por tanto, $2=\sqrt[3]{8}$.

Por ejemplo, supongamos que quieres saber, qué número (x) elevado al cuadrado da 25 (x² = 25). Entonces, $\mathrm{x}=\sqrt{25}=5$.

En resumen, si tienes bⁿ = p, usas $b=\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{p}}$ Para hallar la base b (figura 1).

Potencias y logaritmos

Ahora, cambiemos el enfoque. Si necesitas hallar el exponente, usas los logaritmos, que son la otra operación inversa de las potencias. Volviendo a 2³ = 8, el exponente (3) se halla con log₂(8) = 3.

Por ejemplo, imagina que tienes la potencia 10^x = 100. Para calcular x, usas log (100) = 2 (logaritmo en base 10 de 100), porque 10² = 100. ¡Hallaste el exponente 2!

De la misma forma, imagina que tienes 2^x = 32, ¿Cuál es el valor del exponente x? Solucionas con log₂(32) = 5, porque 2⁵ = 32.

En conclusión, si tienes bⁿ = p. usas n = log_b(p) para encontrar el exponente n (ver figura 1).

La importancia de las operaciones inversas

Las operaciones inversas son fundamentales porque nos permiten ‘descubrir’ números ‘ocultos’ en una operación.

✅ – Encontrar valores ‘ocultos’

Si sabemos el resultado final, podemos descubrir con qué número empezamos.

Ejemplo 1. En un almacén compras una mercancía (m), pagas con $100 y te devuelven $23. ¿Cuánto costó la mercancía?

El número oculto está en una suma:
m + 23 = 100 y lo descubres aplicando la resta. Por lo tanto,
m = 100 – 23 = 77. El valor de la mercancía es $77.

Ejemplo 2. Un número (b), elevado al exponente 3, es igual a 64. ¿Cuál es el valor de b?

La expresión de la situación es:
b³ = 64. Para hallar la base de una potencia, usas la raíz, que es la operación inversa. Entonces,
$\sqrt[3]{64}=4$
La base es 4 porque 4³ = 64.

Ejemplo 3. 7 elevado a un exponente x, es igual a 343. ¿Cuál es el exponente?

En este caso tienes 7^x = 343. Para hallar un exponente, la operación inversa a la potencia es el logaritmo. En consecuencia, x = log₇(343) = 3, porque al multiplicar 7 × 7 × 7 = 343 o 7³ = 343.

✅ – Verificar respuestas

Podemos comprobar si un resultado es correcto aplicando la operación inversa.

Ejemplo 4. Te piden comprobar el resultado de la multiplicación:
12 × 6 = 72. Para resolver, puedes dividir el resultado entre uno de los factores y deberás obtener el otro. Por ejemplo, 72 ÷ 6 = 12.

✅ – Despejar incógnitas en ecuaciones, manteniendo el equilibrio de la expresión

En ecuaciones, lo que hacemos de un lado, debemos hacerlo del otro usando operaciones inversas.

Ejemplo 5. Imagina que tienes la expresión x + 3 – 4 = 6 ¿Cómo hallas el valor de x? Dado que, 4 está restando, deberás sumar 4 a cada lado:
x + 3 – 4 + 4 = 6 + 4.
Obtienes x + 3 = 10.
Para finalizar, como 3 está sumando, lo restas a cada lado:
x + 3 – 3 = 10 – 3. Como resultado, tienes x = 7.

👉 El matemático suizo Leonhard Euler fue pionero al conectar potencias y logaritmos como inversos en su libro Introductio in analysin infinitorum (1748).

Taller de lectura: ¡a repasar lo aprendido!

(Para las preguntas 1, 2 y 3) Imagina que elevas un número misterioso al cuadrado y obtienes 169.

1. La expresión que representa el enunciado es:
   a. x² = 169
   b. x = 169 ÷ 2
   c. 2x = 169
2. La operación para hallar ese número es:
   a. Log₂(169)
   b. Raíz cuadrada de 169
   c. 169 ÷ 2
3. El número misterioso del ejercicio anterior es:
   a. 17
   b. 13
   c. 2

(Usa este enunciado para responder las preguntas 4, 5 y 6) María dice: ‘Si tomo el número 5 y lo elevo a cierto exponente, obtengo 125’.

4. La expresión que representa la afirmación de María es:
   a. 125 ÷ 5
   b. 5^x = 125
   c. Raíz quinta de 125
5. La expresión que te permite hallar el exponente es:
   a. 5 × 3
   b. Raíz cuadrada de 125
   c. Log₅(125)
6. El valor del exponente que se busca es:
   a. 5
   b. 3
   c. 2
7. Si te dan una potencia con un exponente desconocido (x), la operación para calcularlo es un logaritmo porque:
   a. Es la operación inversa de la multiplicación.
   b. El logaritmo neperiano es el mismo logaritmo natural.
   c. El logaritmo es la operación inversa de la potencia cuando se quiere obtener un exponente.

(Para las preguntas 7 y 8) En una carrera de observación, aparece un mensaje secreto: A partir de aquí, debes avanzar x kilómetros hacia al norte. Pero x, hace parte de la ecuación x³ = 216.

8. La operación inversa a la potencia, que es necesaria para obtener el valor de la base x es:
   a. Log₃(216)
   b. Raíz cúbica de 216
   c. 216 × 3
9. La distancia en kilómetros que los participantes deben avanzar hacia el norte es:
   a. 4
   b. 5
   c. 6

Descarga la versión resumida de la actividad en PDF