Trinomio cuadrado perfecto: concepto y cómo identificarlo

Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio. Por ejemplo,

En general, tiene la forma a² + 2ab + b², donde el término medio es el doble del producto de las raíces cuadradas de los términos extremos.

Es decir que, para identificar un trinomio cuadrado perfecto, debes verificar estas dos condiciones:

• El primer y tercer término, deben ser cuadrados perfectos. En otras palabras, el primer y tercer término deben tener raíz cuadrada exacta. Por ejemplo, x² es cuadrado perfecto porque tiene raíz cuadrada exacta que es x. Del mismo modo, 9 es cuadrado perfecto porque tiene raíz cuadrada exacta que es 3.
• El término medio, debe ser el doble del producto de las raíces cuadradas de los términos extremos. Por ejemplo, en a² + 2ab + b², la raíz cuadrada de a² es a y la raíz cuadrada de b² es b. Por tal razón, el término de la mitad es 2 × a × b (2ab).

El matemático indio Bhaskara II (1114-1185), demostró, geométricamente, cómo se forma el trinomio cuadrado perfecto.

Reconociendo un trinomio cuadrado perfecto (ejemplos)

Evaluar si los siguientes trinomios son trinomios cuadrados perfetos o no.

1. x² + 2x + 1
   raíz cuadrada de x² es x
   raíz cuadrada de 1 es 1
   2 × x × 1 es igual a 2x.
   R// Si es, porque el término 2x coincide con el término medio de la expresión dada.

2. 4y² – 12y + 9
   raíz cuadrada de 4y² es 2y
   raíz cuadrada de 9 es 3
   2 × 2y × 3 es igual a 12y.
   R// Si, porque el término 12y coincide con el término medio de la expresión 4y² – 12y + 9.
   nota: las raíces se toman positivas al calcularlas. El signo del término medio decide si el binomio es una suma (a + b)² o una resta (a – b)².

3. $x^2+bx+\frac{b^2}{4}$
   La raíz cuadrada de x² es x
   La raíz cuadrada de $\frac{b^2}{4}$ es $\frac{b}{2}$
   El doble producto de estas raíces es $2\times x\times \frac{b}{2}=bx$
   R// Si porque bx es el término medio de la expresión dada.

4. 36x² – 18xy⁴ + 4y⁸
   La raíz de 36x² es igual a 6x
   La raíz de 4y⁸ es 2y⁴
   El doble producto de estas raíces es 2 × 6x × 2y⁴ = 24xy⁴
   R// No porque el término 24xy⁴ NO es el término medio de la expresión.

Taller de lectura

1. Con relación a un trinomio cuadrado perfecto, responda:
   1. ¿Qué es?
   2. ¿Qué condiciones debemos verificar para identificarlo?
   3. ¿Por qué es importante saber identificarlo?
2. Evalúa si los siguientes trinomios son trinomios cuadrados perfectos:
   1. 4m² – 12mn +9n²
   2. 81x²y² + 36xyz + 4z²
   3. 36a⁴ + 162a²b + 256b²
   4. 9a² – 24ab + 16b²
   5. $\frac{1}{16}{a}^2+\frac{1}{3}ab+\frac{4}{9}{b}^2$
3. Si las raíces del primer y tercer término de un trinomio son, respectivamente, 3x y 5y², ¿Cuál debe ser su término medio para que sea un trinomio cuadrado perfecto?