Regla de tres simple y compuesta: con ejemplos explicados

La regla de tres es una herramienta matemática que permite calcular un valor desconocido a partir de datos conocidos que mantienen una relación de proporcionalidad. Se clasifica en simple o compuesta según el número de magnitudes involucradas, y en directa o inversa según el tipo de proporcionalidad existente entre ellas.

En este taller aprenderás a plantear y resolver diversos ejercicios con regla de tres.

Regla de tres simple

Tiene por objeto hallar el cuarto término de una proporción, cuando se conocen los otros tres. En ella, sólo intervienen dos cantidades o magnitudes. Tomemos como ejemplo este ejercicio clásico:
Si cuatro libros cuestan cien pesos, ¿cuánto cuestan quince libros?
Al leer, podemos notar que aquí participan dos cantidades: libros y dinero (pesos).

Regla de 3 simple directa

Se llama así, cuando entre las magnitudes existe proporcionalidad directa. Es decir que, si una magnitud aumenta, la otra también aumenta o si una disminuye, la otra también disminuye en la misma proporción.

Regla de tres simple inversa

Se utiliza cuando entre las magnitudes existe proporcionalidad inversa. Es decir, que mientras una magnitud aumenta la otra disminuye.

Cómo resolver estos problemas

Todo problema que se resuelve con la regla de tres se puede expresar con dos partes claras:

• Una afirmación con los datos que ya conocemos.
• Una pregunta con el dato que queremos encontrar (la incógnita).

Retomemos el ejemplo anterior: Si cuatro libros cuestan cien pesos, ¿cuánto cuestan quince libros?

• La afirmación es: “Cuatro libros cuestan cien pesos”.
• La pregunta es: “¿Cuánto cuestan quince libros?” (aquí el dato desconocido es el precio de los quince libros).

De esta forma, siempre tendrás tres datos conocidos y un dato desconocido. A partir de ahí, podrás organizar la información y aplicar una estrategia para encontrar la respuesta.

Para resolver cualquier problema de regla de tres simple (directa o inversa) sigue estos pasos:

1. Organiza los datos en una tabla.
   o Primera fila: datos de la afirmación (lo que ya sabes).
   o Segunda fila: datos de la pregunta (incluyendo la incógnita x).
   o Coloca cada magnitud en su columna correspondiente (por ejemplo, “libros” debajo de “libros”, “pesos” debajo de “pesos”).
2. Identifica si es directa o inversa.
   o Directa: cuando las magnitudes aumentan o disminuyen juntas.
   o Inversa: cuando una magnitud aumenta y la otra disminuye.
3. Realiza el cálculo.
   o Si es directa: multiplica en cruz (multiplica los números que forman una diagonal y divide entre el número restante).
   o Si es inversa: multiplica los dos números de la afirmación y divide entre el número conocido de la pregunta.

Ejemplos de regla de 3 simple directa

Ejemplo 1

Si cuatro libros cuestan cien pesos, ¿cuánto cuestan quince libros?

Solución: ¿Directa o inversa? Es directa porque al aumentar el número de libros, también aumenta el costo. La figura 1 muestra la tabla y operaciones.

Ejemplo 2

Si, a velocidad constante, un vehículo recorre 120 kilómetros en 2 horas ¿Cuánto tarda en recorrer 420 kilómetros?

Solución: Esta regla de tres es directa porque al aumentar la distancia recorrida, también aumenta el tiempo empleado.

Ejemplo 3

Si 10 gramos de oro ocupan un volumen de 0.5176 centímetros cúbicos, ¿Cuántos gramos hay en 1 centímetro cúbico?

Solución: También es directa porque si aumenta la masa de oro, del mismo modo, aumenta el volumen ocupado (ver figura 3).

Ejemplos de regla de 3 simple inversa

Ejemplo 4

Si 4 obreros construyen una obra en 12 días. ¿En cuántos días tardan 6 obreros?

Solución: ¿Directa o inversa? Es inversa porque al aumentar el número de obreros, disminuye el tiempo necesario para terminar la obra. La figura 4 muestra la tabla y operaciones.

Ejemplo 5

Si 2 llaves abiertas llenan una piscina en 3 horas, ¿Cuántas llaves iguales se requieren para llenar la piscina en 1 hora?

Solución: Esta es una regla de tres inversa porque al aumentar el número de llaves, diminuye el tiempo necesario para llenar la piscina (ver figura 5).

Regla de tres compuesta

Se utiliza cuando el problema involucra tres o más magnitudes que están relacionadas proporcionalmente.

En estos casos, en lugar de tener solo tres datos conocidos, generalmente tenemos cinco o más datos y debemos encontrar el que falta.

Las magnitudes que pueden intervenir son, por ejemplo,

• Número de personas, tiempo y cantidad de trabajo.
• Velocidad, tiempo y distancia.
• Cantidad de alimento, número de animales y días.

Esta regla es muy útil en problemas reales donde varias cantidades influyen al mismo tiempo en el resultado.

Hay 3 clases de regla de tres compuesta:

• Directa: cuando todas las magnitudes varían en el mismo sentido.
• Inversa: cuando todas las magnitudes varían en sentido contrario.
• Mixta: cuando hay una mezcla de proporcionalidades directas e inversas.

Cómo resolver este tipo de problemas

Para resolver problemas de regla de tres compuesta sigue estos pasos:

1. Organiza los datos en una tabla.
   o Primera fila: datos de la afirmación (lo que ya sabes).
   o Segunda fila: datos de la pregunta (incluyendo la incógnita x).
   o Coloca cada magnitud en su columna correspondiente (por ejemplo, “libros” debajo de “libros”, “pesos” debajo de “pesos”).
2. Identifica si es directa o inversa.
   • Compara la variable que tiene la incógnita, con cada una de las otras variables por separado.
   • Directa: cuando las magnitudes aumentan o disminuyen juntas.
   • Inversa: cuando una magnitud aumenta y la otra disminuye.
3. Realiza el cálculo.
   • Si es directa: multiplica en cruz (multiplica los números que forman una diagonal y divide entre el número restante).
   • Si es inversa: multiplica los dos números de la afirmación y divide entre el número conocido de la pregunta.

Ejemplos de regla de 3 compuesta

Ejemplo 6

Si 6 obreros construyen una pared en 8 días trabajando 5 horas diarias, ¿cuántos días tardan 4 obreros trabajando 6 horas diarias para construir la misma pared?

Primero, realizas la tabla.

Comparas la magnitud de la incógnita (días), con la magnitud obreros. Entre estas 2 variables hay proporcionalidad inversa porque a más obreros, menos días se requieren para terminar la obra. En consecuencia, multiplicas los datos de la afirmación (6 × 8) y divides entre el dato conocido de la pregunta (4).

Ahora, comparas las magnitudes días y horas. También hay proporcionalidad inversa entre ellas porque a más horas trabajadas, menos días necesarios. Entonces, multiplicas por el dato de la afirmación (5) y divides entre el dato de la pregunta (6). En resumen, la expresión queda:

$$x=\frac{8×6×5}{4×6}=\frac{240}{24}=10$$

La respuesta es: 4 obreros tardan 10 días, trabajando 6 horas diarias, para hacer la pared.

Ejemplo 7

Si 3 máquinas producen 1800 piezas en 5 horas, ¿cuántas piezas producirán 6 máquinas trabajando 8 horas?

Para iniciar, haces la tabla.

Comparas la magnitud de la incógnita (piezas), con la magnitud máquinas. Entre estas 2 variables hay proporcionalidad directa porque a más máquinas, más piezas se producen. En consecuencia, multiplicas en cruz. Es decir, (1800 × 6) y divides entre el dato restante (3).

Ahora, comparas las magnitudes piezas y horas. También hay proporcionalidad directa entre ellas porque a más horas trabajadas, más piezas se obtienen. Entonces, multiplicas en cruz. Es decir, por 8 y divides entre el dato restante (5). En resumen, la expresión queda:

$$x=\frac{1800×6×8}{3×5}=\frac{86400}{15}=5760$$

En resumen, con 6 máquinas trabajando 8 horas diarias, se producen 5760 piezas.

Ejemplo 8

Si 5 obreros pintan 4 habitaciones en 6 días, ¿cuántos días tardarán 8 obreros en pintar 7 habitaciones?

Primero, haces la tabla.

Comparas la magnitud de la incógnita (días), con la magnitud habitaciones. Entre estas 2 variables hay proporcionalidad directa porque a más días, se pintan más habitaciones. En consecuencia, multiplicas en cruz. Es decir, (6 × 7) y divides entre el dato restante (4).

En seguida, comparas las magnitudes días y obreros. En este caso, hay proporcionalidad inversa entre ellas porque a más obreros, se requieren menos días. Entonces, multiplicas por el dato de la afirmación (5) y divides entre el dato restante (8). En resumen, la expresión queda:

$$x=\frac{6×7×5}{4×8}=\frac{210}{32}=6.5625$$

En conclusión, para pintar 7 habitaciones, 8 obreros tardan 6.2625 días. Esto es, 6 días, 13 horas y 30 minutos (suponiendo que se trabajan las 24 horas del día).

Taller de lectura

1. ¿Qué es la regla de tres, cómo se clasifica y por qué se llama así?
2. ¿Qué es la regla de tres simple?
3. ¿Cuál es la diferencia entre regla de 3 simple directa y simple inversa?
4. Describa los 3 pasos para resolver problemas de regla de 3 simple.
5. ¿Qué es la regla de 3 compuesta?
6. Desarrolla los ejercicios propuestos en los siguientes enlaces:
   • 5 ejercicios de regla de tres simple directa PDF.
   • 4 ejercicios de regla de tres simple inversa PDF.
7. Realice el siguiente ejercicio de regla de 3 compuesta:
   • Si 8 vacas consumen 240 kg de alimento en 15 días, ¿cuántos días durarán 200 Kg de alimento para 12 vacas? (respuesta: 8 días y 8 horas)