Poliedros: sus clases, propiedades, elementos y fórmulas

Los poliedros son figuras en tres dimensiones (como un objeto sólido) que están formadas por caras planas. Cada cara es un polígono, como un triángulo, cuadrado o pentágono. Estas caras se unen por líneas llamadas aristas, y donde se encuentran las aristas hay puntos llamados vértices. Imagina un dado o una pirámide: son poliedros porque no tienen partes curvas ni huecos.

¿Cuáles son los elementos de un poliedro?

Los principales elementos de un poliedro son:

Caras (C): Las superficies planas, que son polígonos.
Aristas (A): Las líneas donde se unen dos caras.
Vértices (V): Los puntos donde se encuentran tres o más aristas.

Por ejemplo, la imagen de la figura 1 es una pirámide cuadrada. Tiene 5 caras (una cuadrada en la base y 4 triangulares), 5 vértices y 8 aristas.

¿Cuál es la fórmula para calcular los elementos de un poliedro?

La fórmula más importante es la de Euler para poliedros convexos.

V – A + C = 2

Donde V son vértices, A aristas y C caras. Si conoces dos, puedes calcular el tercero.

Por ejemplo, si un poliedro tiene 6 caras y 8 vértices, entonces,
A = V + C – 2 = 8 + 6 – 2 = 12 aristas.

¿Cómo se aplica la fórmula de Euler en la vida real, como en arquitectura?
Se usa, básicamente, para verificar que un diseño 3D cerrado sea matemáticamente posible y estable.

Clases de poliedros

✅ Poliedros regulares (o platónicos): Todas las caras son polígonos iguales y todos los ángulos son iguales. Hay solo 5: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Reciben su nombre en honor a Platón, quien los describió y asoció con los elementos de la naturaleza.

Figura 2. Poliedros platónicos.

Tetraedro: 4 caras formadas por triángulos equiláteros.
Cubo (o hexaedro): Como un dado, 6 caras cuadradas.
Octaedro: 8 caras triangulares, como dos pirámides unidas.
Dodecaedro: 12 caras pentagonales.
Icosaedro: 20 caras triangulares.

¿Por qué hay solo 5 poliedros platónicos?
Porque en un poliedro regular, en cada vértice se unen al menos 3 caras idénticas (polígonos regulares), y la suma de sus ángulos interiores debe ser menor a 360° para formar un sólido 3D. Solo 5 cumplen con esta condición.

✅ Poliedros semirregulares (arquimedianos): Las caras son polígonos regulares, pero de diferentes tipos, y todos los vértices son iguales. Ejemplos: cubo truncado o icosaedro truncado.

¿Cuál es la principal diferencia entre poliedros arquimedianos y platónicos?
Los platónicos son regulares (caras idénticas), los arquimedianos, en cambio, combinan polígonos regulares de dos o más tipos.

✅ Prismas: Tienen dos bases iguales (como triángulos o cuadrados) y caras laterales rectangulares. Ejemplo: prisma triangular o hexagonal.

✅ Pirámides: Tienen una base poligonal y caras laterales triangulares que se unen en un vértice superior. Por ejemplo, la pirámide cuadrada de la figura 1.

✅ Antiprismas: Poliedros no convexos (que tienen «hendiduras»).

Figura 3. Otros poliedros.

¿Cuáles son las propiedades de un poliedro?

Las propiedades básicas de un poliedro son:

Todas sus caras son polígonos planos (no curvos).
No tiene huecos ni partes que se crucen solas.
Puede ser convexo (todas las líneas dentro de él quedan adentro, como un cubo) o cóncavo (con «entradas», como una estrella).
Cumple la fórmula de Euler para poliedros convexos: vértices menos aristas más caras igual a 2.
Cada arista une exactamente dos caras, y cada vértice une al menos tres aristas.