Los conjuntos son grupos de elementos con una o más características en común. Los conjuntos se representan por letras mayúsculas, pero sus elementos, se representan por letras minúsculas encerrados entre llaves {} y separados por comas. Por ejemplo,
A = {a, e, i, o, u} A es el conjunto de las vocales
D = {1, 3, 5, 7, 9} D es el conjunto de los números naturales impares menores que 10.
| La teoría de conjuntos es la rama de las matemáticas que estudia estos grupos y la forma cómo se relacionan. Fue desarrollada por Georg Cantor y es el fundamento de la matemática moderna. En la matemática básica, los conjuntos nos permiten clasificar y comparar información. |
Notación y representación de conjuntos
Hay 2 formas de representar un conjunto:
1 – Por extensión:
Un conjunto está representado por extensión, cuando se listan todos los elementos uno por uno, por ejemplo,
A = {a, e, i, o u} (conjunto de las vocales)
S = {Ío, Europa, Ganímedes, Calisto} (conjunto de las ‘lunas’ de Júpiter)
C = {amarillo, azul, rojo} (conjunto de los colores de la bandera de Colombia)
2 – Por comprensión:
Un conjunto está representado por comprensión, cuando se nombra solamente, la propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, verbigracia,
A = {las vocales}
B = {meses del año}
C = {días de la semana}
Sin embargo, aunque esta notación es aceptable, en matemáticas rigurosas (teoría de conjuntos) se usa la estructura A ={x | x …}. Esta se lee «A es el conjunto de las x, tal que x …». Apliquémolo a los ejemplos.
A = {x | x es una vocal} (A es el conjunto de las x, tal que x es una vocal).
B = {x | x es un mes del año} (B es el conjunto de las x, tal que x es un mes del año).
C = {x | x es un día de la semana} (C es el conjunto de las x, tal que x es un día de la semana).
¿Cómo notarías el conjunto ‘L’ de las letras del abecedario?
¡Correcto!
L = {x | x es una letra del abecedario}
Nota: Además de la barra vertical |, en la notación por comprensión, tambien se pueden usar los dos puntos A = {x: x es …}.
Clasificación
Los conjuntos se clasifican según sus características
1 – Conjunto finito
Un conjunto es finito cuando es posible contar o nombrar todos sus elementos. Por ejemplo, el conjunto A = {x | x es una vocal}, es un conjunto finito porque se pueden contar y nombrar cada uno de sus elementos. A = {a, e, i, o, u}.
2 – Conjunto infinito
El conjunto N = {x | x es un número natural}, por ejemplo, es infinito porque es imposible nombrar todos sus elementos. Los números naturales son infinitos.
3- Conjunto unitario
Llamamos así al conjunto que tiene un solo elemento. Como, E = {2}.
4 – Conjunto vacío
Conjunto vacío es un conjunto sin elementos. se representa con ∅ o con { }. (Por favor, no confundir con las letras griegas theta θ o phi Φ).
5 – Conjunto universal
Es el conjunto que contiene todos los elementos que estamos considerando en un problema determinado (se representa con U). Por ejemplo, si hablamos de números naturales menores que 20, U sería ese grupo completo.
6 – Conjunto numérico
Los conjuntos numéricos hacen referencia a ejemplos comunes con números como los números pares, impares, primos o naturales. Según el caso, se pueden clasificar como finitos o infinitos.
Diagramas de Venn
Los diagramas de Venn son dibujos, con círculos o elipses, que representan los conjuntos y sus relaciones. Son una forma gráfica y fácil de entender cómo se relacionan los conjuntos y sus elementos.
La figura 2 muestra el conjunto universal U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dentro de él, el conjunto A = {1, 2, 3} (línea roja) y el conjunto B = {3, 4, 5} (línea verde). Observe el elemento 3, pertenece tanto al conjunto A, como al conjunto B. Esto se denota como A ∩ B = {3}. Este es un ejemplo de la manera como los diagramas de Venn permiten relacionar conjuntos y sus elementos.
Relación entre elemento y conjunto
Pertenenccia
La relación entre un elemento y un conjunto es la relación de pertenencia. Un elemento pertenece (∈) o no pertenece (∉) a un conjunto. Por ejemplo, si A = {a, e, i, o, u}, se dice que i ∈ A (i pertenece al conjunto A) pero z ∉ A (z no pertenece al conjunto A).
Relaciones entre conjuntos
Unión
La unión entre dos o más conjuntos, es un conjunto formado por los elementos de todos los conjuntos (sin repetir los elementos). Por ejemplo, dados los conjuntosA = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6}, se tiene el conjunto A∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Utilizando la notación por comprensión, el conjunto unión puede definirse de la siguiente manera:
A∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}. Esta expresión se lee: A unión B, es el conjunto de las x, tal que x pertenece a A o x pertenece a B.
El carácter (∨) representa la disyunción lógica y significa que entre 2 opciones se elige solo una.
Gráficamente, la unión entre dos conjuntos se representa como lo indica la figura 3.
Intersección
La intersección entre dos o más conjuntos, formado por los elementos que pertenecen a todos los conjuntos. Por ejemplo, dados los conjuntos A = {a, e, i, o} y B = {i, o, u}, se tiene el conjunto A∩B = {i, o}.
Utilizando la notación por comprensión, el conjunto intersección puede definirse de la siguiente manera:
A∩B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} Que se lee: A intersección B, es el conjunto de las x, tal que x pertenece a A y x pertenece a B.
El carácter ∧ representa la conjunción lógica y significa que entre dos opciones, se deben seleccionar ambas.
Gráficamente, la unión entre dos conjuntos se representa de acuerdo con la figura 4.
Complemento
El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos del conjunto universal U, que no pertenecen a A. Por ejemplo, dados los conjuntos A = {2, 4, 6} y U = {2, 4, 6, 8, 10}. El complemento de A, es A’ = {8, 10}.
Gráficamente, el complemento de un conjunto se representa según la figura 5.
Diferencia
Dados los conjuntos A y B, la diferencia entre A y B (A − B), es el conjunto de los elementos de A que no pertenecen a B. Por ejemplo, sea el conjunto A = {a, b, c} y B = {c, d, e} entonces A – B = {a, b}. Ver la figura 6.
También puede establecerse la diferencia (B − A) formada por los elementos de B que no están en A. B – A = {d, e}.
Inclusión
Se dice que un conjunto A, está incluido o contenido en un conjunto B, si todos los elementos de A, pertenecen a B. Un conjunto puede estar contenido en sí mismo, es decir que, los conjuntos dados pueden ser iguales).
Por ejemplo, dados los conjuntos: A = {1, 3, 5, 7} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, se puede establecer que A está contenido en B. Se representa así: A ⊆ B (figura 7).
Subconjunto propio
Se dice que un conjunto A, es subconjunto de un conjunto B, si A está contenido en B, y si B tiene por lo menos un elemento que no pertenece a A.
Un conjunto NO puede ser subconjunto de sí mismo. Los conjuntos dados No pueden ser iguales y esta es la diferencia con el concepto de inclusión.
Por ejemplo, dados los conjuntos: A = {2, 4, 6} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, se puede establecer que el conjunto A es subconjunto propio de B. Se representa de la siguiente forma: A ⊂ B.
Adicionalmente, al conjunto B se le llama conjunto referencial o universal con respecto al conjunto A. El conjunto universal U, también es conjunto referencial o universal en relación a los conjuntos A y B (figura 8).
Resumen de los símbolos de la teoría de conjuntos
En conclusión, si llegaste hasta aquí, ya sabes que es un conjunto, sabes denotar y representar conjuntos y sabes establecer relaciones entre elementos y conjuntos.
Taller de lectura
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